Страница 120 номер 10.8, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Через центр \(O\) правильного треугольника \(ABC\) проведена прямая \(DO\), перпендикулярная плоскости \(ABC\) (рис. 10.22). Найдите отрезок \(DO\), если \(AB = 6\) см, \(DA = 4\) см.
Дано:
\(ABC\) — правильный треугольник
\(O\) — центр треугольника \(ABC\)
\(DO \perp ABC\)
\(AB = 6\) см
\(DA = 4\) см
Найти: \(DO\).
Решение: Центр \(O\) правильного треугольника \(ABC\) — центр его описанной окружности, поэтому \(AO\) — радиус этой окружности: \(AO = \frac{AB\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\) (см).
Прямая \(AO\) лежит в плоскости \(ABC\), а \(DO \perp ABC\), поэтому по определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(DO \perp AO\). Значит, треугольник \(AOD\) прямоугольный с прямым углом \(AOD\).
По теореме Пифагора \(DO = \sqrt{DA^2 - AO^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = 2\) (см).
Ответ: 2 см.
