Страница 108 номер 9.3, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 9.8). Найдите угол между прямыми: 1) \(AB\) и \(BB_1\); 2) \(AB\) и \(B_1D_1\); 3) \(A_1D\) и \(B_1C\); 4) \(B_1D_1\) и \(C_1C\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
Найти: угол между прямыми: 1) \(AB\) и \(BB_1\); 2) \(AB\) и \(B_1D_1\); 3) \(A_1D\) и \(B_1C\); 4) \(B_1D_1\) и \(C_1C\).
Решение:
Все грани куба — равные квадраты.
1) Прямые \(AB\) и \(BB_1\) пересекаются в точке \(B\), и \(\angle ABB_1 = 90^\circ\) как угол квадрата \(AA_1B_1B\). Угол между прямыми \(AB\) и \(BB_1\) равен \(90^\circ\).
2) Рёбра \(BB_1\) и \(DD_1\) параллельны: каждое из них параллельно ребру \(AA_1\) (противолежащие стороны квадратов \(AA_1B_1B\) и \(AA_1D_1D\)), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Поэтому точки \(B\), \(B_1\), \(D_1\), \(D\) лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) по параллельным прямым \(BD\) и \(B_1D_1\).
Поскольку \(B_1D_1 \parallel BD\), то угол между прямыми \(AB\) и \(B_1D_1\) равен углу между прямыми \(AB\) и \(BD\), то есть углу \(ABD\). Диагональ квадрата является биссектрисой его угла, поэтому \(\angle ABD = 45^\circ\). Угол между прямыми \(AB\) и \(B_1D_1\) равен \(45^\circ\).
3) Рёбра \(A_1B_1\) и \(DC\) параллельны: \(A_1B_1 \parallel AB\) (квадрат \(AA_1B_1B\)), \(AB \parallel DC\) (квадрат \(ABCD\)), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Поэтому точки \(A_1\), \(B_1\), \(C\), \(D\) лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости \(AA_1D\) и \(BB_1C\) по параллельным прямым \(A_1D\) и \(B_1C\). Угол между параллельными прямыми считают равным \(0^\circ\), поэтому угол между прямыми \(A_1D\) и \(B_1C\) равен \(0^\circ\).
4) Прямые \(B_1D_1\) и \(CC_1\) скрещиваются: прямая \(B_1D_1\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\), а прямая \(CC_1\) пересекает эту плоскость в точке \(C_1\), не принадлежащей прямой \(B_1D_1\). Прямая \(BD\) параллельна прямой \(B_1D_1\), как показано в пункте 2), а ребро \(BB_1\) параллельно ребру \(CC_1\) как противолежащая сторона квадрата \(BB_1C_1C\). Прямые \(BD\) и \(BB_1\) пересекаются в точке \(B\), поэтому угол между прямыми \(B_1D_1\) и \(CC_1\) равен углу \(B_1BD\).
Пусть ребро куба равно \(a\), а \(O\) — точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\). Отрезки \(AB_1\), \(B_1C\) и \(AC\) — диагонали равных квадратов со стороной \(a\), поэтому каждый из них равен \(a\sqrt{2}\) и треугольник \(AB_1C\) равносторонний. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, значит, \(O\) — середина стороны \(AC\), а \(B_1O\) — медиана равностороннего треугольника со стороной \(a\sqrt{2}\): \[B_1O = \frac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}.\]
В треугольнике \(B_1BO\) стороны \(BB_1 = a\), \(BO = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\), и \[BB_1^2 + BO^2 = a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2} = \left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 = B_1O^2.\]
По теореме, обратной теореме Пифагора, \(\angle B_1BO = 90^\circ\). Точка \(O\) лежит на отрезке \(BD\), поэтому \(\angle B_1BD = 90^\circ\). Угол между прямыми \(B_1D_1\) и \(CC_1\) равен \(90^\circ\).
Ответ: 1) угол между прямыми \(AB\) и \(BB_1\) равен \(90^\circ\); 2) между \(AB\) и \(B_1D_1\) — \(45^\circ\); 3) между \(A_1D\) и \(B_1C\) — \(0^\circ\); 4) между \(B_1D_1\) и \(C_1C\) — \(90^\circ\).
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 9.8). Найдите угол между прямыми: 1) \(AB\) и \(BB_1\); 2) \(AB\) и \(B_1D_1\); 3) \(A_1D\) и \(B_1C\); 4) \(B_1D_1\) и \(C_1C\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
Найти: угол между прямыми: 1) \(AB\) и \(BB_1\); 2) \(AB\) и \(B_1D_1\); 3) \(A_1D\) и \(B_1C\); 4) \(B_1D_1\) и \(C_1C\).
Решение:
Все грани куба — равные квадраты.
1) Прямые \(AB\) и \(BB_1\) пересекаются в точке \(B\), и \(\angle ABB_1 = 90^\circ\) как угол квадрата \(AA_1B_1B\). Угол между прямыми \(AB\) и \(BB_1\) равен \(90^\circ\).
2) Рёбра \(BB_1\) и \(DD_1\) параллельны: каждое из них параллельно ребру \(AA_1\) (противолежащие стороны квадратов \(AA_1B_1B\) и \(AA_1D_1D\)), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Поэтому точки \(B\), \(B_1\), \(D_1\), \(D\) лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) по параллельным прямым \(BD\) и \(B_1D_1\).
Поскольку \(B_1D_1 \parallel BD\), то угол между прямыми \(AB\) и \(B_1D_1\) равен углу между прямыми \(AB\) и \(BD\), то есть углу \(ABD\). Диагональ квадрата является биссектрисой его угла, поэтому \(\angle ABD = 45^\circ\). Угол между прямыми \(AB\) и \(B_1D_1\) равен \(45^\circ\).
3) Рёбра \(A_1B_1\) и \(DC\) параллельны: \(A_1B_1 \parallel AB\) (квадрат \(AA_1B_1B\)), \(AB \parallel DC\) (квадрат \(ABCD\)), а две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой. Поэтому точки \(A_1\), \(B_1\), \(C\), \(D\) лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости \(AA_1D\) и \(BB_1C\) по параллельным прямым \(A_1D\) и \(B_1C\). Угол между параллельными прямыми считают равным \(0^\circ\), поэтому угол между прямыми \(A_1D\) и \(B_1C\) равен \(0^\circ\).
4) Прямые \(B_1D_1\) и \(CC_1\) скрещиваются: прямая \(B_1D_1\) лежит в плоскости \(A_1B_1C_1\), а прямая \(CC_1\) пересекает эту плоскость в точке \(C_1\), не принадлежащей прямой \(B_1D_1\). По определению угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. Прямая \(BD\) параллельна прямой \(B_1D_1\), как показано в пункте 2), а ребро \(BB_1\) параллельно ребру \(CC_1\) как противолежащая сторона квадрата \(BB_1C_1C\). Прямые \(BD\) и \(BB_1\) пересекаются в точке \(B\), поэтому угол между прямыми \(B_1D_1\) и \(CC_1\) равен углу \(B_1BD\).
Пусть ребро куба равно \(a\), а \(O\) — точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\). Отрезки \(AB_1\), \(B_1C\) и \(AC\) — диагонали равных квадратов со стороной \(a\), поэтому каждый из них равен \(a\sqrt{2}\) и треугольник \(AB_1C\) равносторонний. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, значит, \(O\) — середина стороны \(AC\), а \(B_1O\) — медиана равностороннего треугольника со стороной \(a\sqrt{2}\): \[B_1O = \frac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}.\]
В треугольнике \(B_1BO\) стороны \(BB_1 = a\), \(BO = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\), и \[BB_1^2 + BO^2 = a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2} = \left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 = B_1O^2.\]
По теореме, обратной теореме Пифагора, \(\angle B_1BO = 90^\circ\). Точка \(O\) лежит на отрезке \(BD\), поэтому \(\angle B_1BD = 90^\circ\). Угол между прямыми \(B_1D_1\) и \(CC_1\) равен \(90^\circ\).
Ответ: 1) угол между прямыми \(AB\) и \(BB_1\) равен \(90^\circ\); 2) между \(AB\) и \(B_1D_1\) — \(45^\circ\); 3) между \(A_1D\) и \(B_1C\) — \(0^\circ\); 4) между \(B_1D_1\) и \(C_1C\) — \(90^\circ\).
