Страница 108 номер 9.1, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Сколько в пространстве можно провести прямых, перпендикулярных данной прямой, через точку: 1) принадлежащую данной прямой; 2) не принадлежащую данной прямой?
1) Пусть точка \(M\) принадлежит прямой \(a\). Через прямую \(a\) проходит бесконечно много плоскостей. В каждой из них через точку \(M\) проходит прямая, перпендикулярная прямой \(a\). Так, в плоскости \(\alpha\) это прямая \(b\), в плоскости \(\beta\) — прямая \(c\).
Прямые, полученные в разных плоскостях, различны: через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Следовательно, через точку \(M\) можно провести бесконечно много прямых, перпендикулярных прямой \(a\).
2) Пусть точка \(M\) не принадлежит прямой \(a\). Через точку \(M\) проходит прямая \(a_1\), параллельная прямой \(a\), и притом только одна. Параллельные прямые \(a\) и \(a_1\) лежат в одной плоскости — обозначим её \(\alpha\). По доказанному в пункте 1) через точку \(M\) прямой \(a_1\) проходит бесконечно много прямых, перпендикулярных прямой \(a_1\). Каждая из них перпендикулярна и прямой \(a\).
В плоскости \(\alpha\) через точку \(M\) проходит только одна прямая, перпендикулярная прямой \(a_1\), — прямая \(b\). В плоскости \(\alpha\) прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой и пересекает её, поэтому прямая \(b\) пересекает прямую \(a\) в некоторой точке \(K\) и \(b \perp a\).
Любая другая из этих прямых — например, прямая \(c\) — не лежит в плоскости \(\alpha\) и пересекает её в точке \(M\), не принадлежащей прямой \(a\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(c\) и \(a\) скрещиваются. Поскольку \(a_1 \parallel a\), то угол между прямыми \(c\) и \(a\) равен углу между пересекающимися прямыми \(c\) и \(a_1\), то есть \(90^\circ\): \(c \perp a\).
Следовательно, и в этом случае через точку \(M\) можно провести бесконечно много прямых, перпендикулярных прямой \(a\); только одна из них пересекает прямую \(a\), а остальные с ней скрещиваются.
Ответ: 1) через точку, принадлежащую данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, перпендикулярных ей; 2) через точку, не принадлежащую данной прямой, — тоже бесконечно много, и только одна из них пересекает данную прямую.
Сколько в пространстве можно провести прямых, перпендикулярных данной прямой, через точку: 1) принадлежащую данной прямой; 2) не принадлежащую данной прямой?
1) Пусть точка \(M\) принадлежит прямой \(a\). Через прямую \(a\) проходит бесконечно много плоскостей. В каждой из них через точку \(M\) проходит прямая, перпендикулярная прямой \(a\): угол между этими пересекающимися прямыми равен \(90^\circ\), значит, они перпендикулярны. Так, в плоскости \(\alpha\) это прямая \(b\), в плоскости \(\beta\) — прямая \(c\).
Прямые, полученные в разных плоскостях, различны: через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна, поэтому прямая, пересекающая прямую \(a\) в точке \(M\), лежит вместе с прямой \(a\) лишь в одной из этих плоскостей. Следовательно, через точку \(M\) можно провести бесконечно много прямых, перпендикулярных прямой \(a\).
2) Пусть точка \(M\) не принадлежит прямой \(a\). Через точку \(M\) проходит прямая \(a_1\), параллельная прямой \(a\), и притом только одна. Параллельные прямые \(a\) и \(a_1\) лежат в одной плоскости — обозначим её \(\alpha\). По доказанному в пункте 1) через точку \(M\) прямой \(a_1\) проходит бесконечно много прямых, перпендикулярных прямой \(a_1\). Каждая из них перпендикулярна и прямой \(a\).
В плоскости \(\alpha\) через точку \(M\) проходит только одна прямая, перпендикулярная прямой \(a_1\), — прямая \(b\). В плоскости \(\alpha\) прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой и пересекает её, поэтому прямая \(b\) пересекает прямую \(a\) в некоторой точке \(K\) и \(b \perp a\).
Любая другая из этих прямых — например, прямая \(c\) — не лежит в плоскости \(\alpha\) и пересекает её в точке \(M\), не принадлежащей прямой \(a\). По признаку скрещивающихся прямых прямые \(c\) и \(a\) скрещиваются. Поскольку \(a_1 \parallel a\), то угол между прямыми \(c\) и \(a\) равен углу между пересекающимися прямыми \(c\) и \(a_1\), то есть \(90^\circ\): \(c \perp a\).
Следовательно, и в этом случае через точку \(M\) можно провести бесконечно много прямых, перпендикулярных прямой \(a\); только одна из них пересекает прямую \(a\), а остальные с ней скрещиваются.
Ответ: 1) через точку, принадлежащую данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, перпендикулярных ей; 2) через точку, не принадлежащую данной прямой, — тоже бесконечно много, и только одна из них пересекает данную прямую.
