Страница 110 номер 9.13, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является квадрат, сторона которого равна \(a\), боковое ребро параллелепипеда равно \(a\sqrt{3}\). Найдите угол между прямыми \(AD_1\) и \(B_1C\).
Дано:
прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)
\(ABCD\) — квадрат, \(AB = a\)
\(AA_1 = a\sqrt{3}\)
Найти: угол между прямыми \(AD_1\) и \(B_1C\).
Решение:
Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники. Прямые \(A_1B_1\) и \(DC\) параллельны прямой \(AB\) как противолежащие стороны прямоугольника \(AA_1B_1B\) и квадрата \(ABCD\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(A_1B_1 \parallel DC\) и точки \(A_1\), \(B_1\), \(C\) и \(D\) лежат в одной плоскости. Плоскости \(AA_1D\) и \(BB_1C\) параллельны по признаку параллельности двух плоскостей: пересекающиеся прямые \(AD\) и \(AA_1\) первой из них соответственно параллельны прямым \(BC\) и \(BB_1\) второй. Плоскость \(A_1B_1C\) пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым \(A_1D\) и \(B_1C\). Следовательно, угол между прямыми \(AD_1\) и \(B_1C\) равен углу между пересекающимися прямыми \(AD_1\) и \(A_1D\).
Отрезки \(AD_1\) и \(A_1D\) — диагонали прямоугольника \(AA_1D_1D\); пусть \(O\) — точка их пересечения. Из прямоугольного треугольника \(ADD_1\) (\(\angle ADD_1 = 90^\circ\)) \[AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{4a^2} = 2a.\]
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OA = OD = \frac{1}{2}AD_1 = a\). Треугольник \(AOD\) равносторонний (\(OA = OD = AD = a\)), значит, \(\angle AOD = 60^\circ\). Этот угол острый, поэтому угол между прямыми \(AD_1\) и \(A_1D\), а значит, и угол между прямыми \(AD_1\) и \(B_1C\), равен \(60^\circ\).
Ответ: \(60^\circ\).
Основанием прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является квадрат, сторона которого равна \(a\), боковое ребро параллелепипеда равно \(a\sqrt{3}\). Найдите угол между прямыми \(AD_1\) и \(B_1C\).
Дано:
прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)
\(ABCD\) — квадрат, \(AB = a\)
\(AA_1 = a\sqrt{3}\)
Найти: угол между прямыми \(AD_1\) и \(B_1C\).
Решение:
Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники. Прямые \(A_1B_1\) и \(DC\) параллельны прямой \(AB\) как противолежащие стороны прямоугольника \(AA_1B_1B\) и квадрата \(ABCD\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(A_1B_1 \parallel DC\) и точки \(A_1\), \(B_1\), \(C\) и \(D\) лежат в одной плоскости. Плоскости \(AA_1D\) и \(BB_1C\) параллельны по признаку параллельности двух плоскостей: пересекающиеся прямые \(AD\) и \(AA_1\) первой из них соответственно параллельны прямым \(BC\) и \(BB_1\) второй. Плоскость \(A_1B_1C\) пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым \(A_1D\) и \(B_1C\). Следовательно, угол между прямыми \(AD_1\) и \(B_1C\) равен углу между пересекающимися прямыми \(AD_1\) и \(A_1D\).
Отрезки \(AD_1\) и \(A_1D\) — диагонали прямоугольника \(AA_1D_1D\), в котором \(AD = a\), \(DD_1 = AA_1 = a\sqrt{3}\); пусть \(O\) — точка их пересечения. Из прямоугольного треугольника \(ADD_1\) (\(\angle ADD_1 = 90^\circ\)) \[AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{4a^2} = 2a.\]
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OA = OD = \frac{1}{2}AD_1 = a\). Треугольник \(AOD\) равносторонний (\(OA = OD = AD = a\)), значит, \(\angle AOD = 60^\circ\). Этот угол острый, поэтому угол между прямыми \(AD_1\) и \(A_1D\), а значит, и угол между прямыми \(AD_1\) и \(B_1C\), равен \(60^\circ\).
Ответ: \(60^\circ\).
