Страница 119 номер 10.5, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 10.21). Укажите прямые, которые перпендикулярны плоскости грани: 1) \(AA_1B_1B\); 2) \(A_1B_1C_1D_1\).
1) Грани куба — квадраты, поэтому \(AD \perp AB\) и \(AD \perp AA_1\). Прямые \(AB\) и \(AA_1\) пересекаются в точке \(A\), и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AD \perp ABB_1\). Прямые \(BC\) и \(A_1D_1\) параллельны прямой \(AD\), а прямая \(B_1C_1\) — прямой \(BC\) (противолежащие стороны квадратов), поэтому по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости, \(BC \perp ABB_1\), \(A_1D_1 \perp ABB_1\) и \(B_1C_1 \perp ABB_1\).
Других прямых, проходящих через две вершины куба и перпендикулярных плоскости \(ABB_1\), нет: через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости, а через каждую вершину куба уже проходит одна из прямых \(AD\), \(BC\), \(A_1D_1\), \(B_1C_1\).
2) Грани куба — квадраты, поэтому \(AA_1 \perp A_1B_1\) и \(AA_1 \perp A_1D_1\). Прямые \(A_1B_1\) и \(A_1D_1\) пересекаются в точке \(A_1\), и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AA_1 \perp A_1B_1C_1\). Прямые \(BB_1\) и \(DD_1\) параллельны прямой \(AA_1\), а прямая \(CC_1\) — прямой \(BB_1\), поэтому по той же теореме прямые \(BB_1\), \(DD_1\) и \(CC_1\) тоже перпендикулярны плоскости \(A_1B_1C_1\). Других прямых, проходящих через две вершины куба и перпендикулярных этой плоскости, нет — по той же причине, что и в пункте 1).
Ответ: 1) плоскости грани \(AA_1B_1B\) перпендикулярны прямые \(AD\), \(BC\), \(A_1D_1\), \(B_1C_1\); 2) плоскости грани \(A_1B_1C_1D_1\) перпендикулярны прямые \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\).
