Страница 94 номер 8.29, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\) (рис. 8.40) является изображением квадрата \(ABCD\), точка \(K_1\) — изображением точки \(K\), принадлежащей стороне \(CD\). Постройте изображение точки \(F\), принадлежащей стороне \(AD\), такой, что \(BF = AK\).
Пусть \(F\) — точка стороны \(AD\) квадрата \(ABCD\), для которой \(BF = AK\).
В прямоугольных треугольниках \(BAF\) и \(ADK\) прямыми являются углы \(A\) и \(D\), поэтому \(BF^2 = AB^2 + AF^2\) и \(AK^2 = AD^2 + DK^2\). Стороны квадрата равны, то есть \(AB = AD\), поэтому равенство \(BF = AK\) равносильно равенству \(AF = DK\). Кроме того, \(FD = AD - AF = DC - DK = KC\), поэтому \(AF : FD = DK : KC\).
Точки \(A\), \(F\) и \(D\) лежат на одной прямой, точки \(D\), \(K\) и \(C\) — тоже, поэтому по теореме 7.3 \(A_1F_1 : F_1D_1 = AF : FD\) и \(D_1K_1 : K_1C_1 = DK : KC\), откуда \(A_1F_1 : F_1D_1 = D_1K_1 : K_1C_1\).
Ответ: изображением точки \(F\) служит точка \(F_1\) стороны \(A_1D_1\), для которой \(A_1F_1 : F_1D_1 = D_1K_1 : K_1C_1\).
Параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1\) (рис. 8.40) является изображением квадрата \(ABCD\), точка \(K_1\) — изображением точки \(K\), принадлежащей стороне \(CD\). Постройте изображение точки \(F\), принадлежащей стороне \(AD\), такой, что \(BF = AK\).
Пусть \(F\) — точка стороны \(AD\) квадрата \(ABCD\), для которой \(BF = AK\).
В прямоугольном треугольнике \(BAF\) прямым является угол \(A\), поэтому \(BF^2 = AB^2 + AF^2\). В прямоугольном треугольнике \(ADK\) прямым является угол \(D\), поэтому \(AK^2 = AD^2 + DK^2\). Стороны квадрата равны, то есть \(AB = AD\), поэтому равенство \(BF = AK\) равносильно равенству \(AF = DK\).
Кроме того, \(FD = AD - AF = DC - DK = KC\), поэтому \(AF : FD = DK : KC\).
Точки \(A\), \(F\) и \(D\) лежат на одной прямой, точки \(D\), \(K\) и \(C\) — тоже, а отношение длин параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению длин самих отрезков (теорема 7.3). Поэтому \(A_1F_1 : F_1D_1 = AF : FD\) и \(D_1K_1 : K_1C_1 = DK : KC\), откуда \(A_1F_1 : F_1D_1 = D_1K_1 : K_1C_1\).
Ответ: изображением точки \(F\) служит точка \(F_1\) стороны \(A_1D_1\), для которой \(A_1F_1 : F_1D_1 = D_1K_1 : K_1C_1\).
