Страница 110 номер 9.18, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\)
\(K\) — середина ребра \(DC\)

Найти: косинус угла между прямыми \(B_1C\) и \(C_1K\).

Решение: Пусть ребро куба равно \(a\), \(L\) — середина ребра \(AB\). Отрезок \(LK\) соединяет середины противолежащих сторон \(AB\) и \(DC\) квадрата \(ABCD\), поэтому \(LK \parallel BC\); кроме того, \(B_1C_1 \parallel BC\). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой, поэтому \(LK \parallel B_1C_1\) и точки \(L\), \(K\), \(C_1\) и \(B_1\) лежат в одной плоскости. Плоскости \(AA_1B\) и \(DD_1C\) параллельны по признаку параллельности двух плоскостей: пересекающиеся прямые \(AB\) и \(AA_1\) первой из них соответственно параллельны прямым \(DC\) и \(DD_1\) второй. Плоскость \(LKC_1\) пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым \(B_1L\) и \(C_1K\). Следовательно, угол между прямыми \(B_1C\) и \(C_1K\) равен углу между пересекающимися прямыми \(B_1C\) и \(B_1L\).

Найдём стороны треугольника \(CB_1L\). Отрезок \(B_1C\) — диагональ квадрата \(BB_1C_1C\), поэтому \(B_1C = a\sqrt{2}\). Треугольники \(B_1BL\) и \(CBL\) прямоугольные (\(\angle B_1BL = \angle CBL = 90^\circ\) как углы квадратов \(AA_1B_1B\) и \(ABCD\)), катеты \(BB_1\) и \(BC\) у них равны, а катет \(BL = \frac{a}{2}\) — общий. Поэтому \(CL = B_1L\) и \[B_1L = \sqrt{BB_1^2 + BL^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}.\]

По теореме косинусов для треугольника \(CB_1L\), учитывая, что \(CL = B_1L\): \[\begin{aligned} &\cos\angle CB_1L = \frac{B_1L^2 + B_1C^2 - CL^2}{2 \cdot B_1L \cdot B_1C} = {} \\ &= \frac{B_1C^2}{2 \cdot B_1L \cdot B_1C} = \frac{B_1C}{2 \cdot B_1L} = {} \\ &= \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}. \end{aligned}\]

Косинус положителен, значит, угол \(CB_1L\) острый и равен углу между прямыми \(B_1C\) и \(B_1L\). Следовательно, косинус угла между прямыми \(B_1C\) и \(C_1K\) равен \(\frac{\sqrt{10}}{5}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{10}}{5}\).