Страница 119 номер 10.6, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна: 1) стороне и медиане треугольника, лежащего в этой плоскости; 2) стороне и средней линии треугольника, лежащего в этой плоскости; 3) двум сторонам трапеции, лежащей в этой плоскости; 4) двум диаметрам окружности, лежащей в этой плоскости; 5) двум диагоналям правильного шестиугольника, лежащего в этой плоскости?
Прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость, поэтому прямая, лежащая в плоскости, ей не перпендикулярна.
1) Верно. Пусть треугольник \(ABC\) лежит в плоскости \(\alpha\), а прямая \(m\) перпендикулярна стороне \(AB\) и одной из медиан треугольника. Медиана \(CK\), проведённая к стороне \(AB\), пересекает её в середине \(K\), а медианы, проведённые из вершин \(A\) и \(B\), имеют с прямой \(AB\) общую точку — свою вершину. На прямой \(AB\) ни одна медиана не лежит: её второй конец — вершина \(C\) или середина стороны \(AC\) или \(BC\) — этой прямой не принадлежит. Значит, сторона и медиана лежат на двух пересекающихся прямых плоскости \(\alpha\), и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(m \perp \alpha\).
2) Неверно. Пусть треугольник \(ABC\) лежит в плоскости \(\alpha\), \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AC\) и \(BC\). Средняя линия \(MN\) параллельна стороне \(AB\). Прямая \(CH\), содержащая высоту треугольника, перпендикулярна прямой \(AB\), а значит, и параллельной ей прямой \(MN\). Но прямая \(CH\) лежит в плоскости \(\alpha\) и потому не перпендикулярна этой плоскости.
3) Неверно. Пусть трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) лежит в плоскости \(\alpha\), \(BH\) — её высота. Прямая \(BH\) перпендикулярна прямой \(AD\), а значит, и параллельной ей прямой \(BC\). Но прямая \(BH\) лежит в плоскости \(\alpha\) и потому не перпендикулярна этой плоскости.
4) Верно. Пусть окружность с центром \(O\) лежит в плоскости \(\alpha\), а прямая \(m\) перпендикулярна двум её диаметрам. Два различных диаметра окружности пересекаются в её центре \(O\), поэтому прямая \(m\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости \(\alpha\) и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(m \perp \alpha\).
5) Неверно. Пусть правильный шестиугольник \(ABCDEF\) лежит в плоскости \(\alpha\). Треугольник \(ABC\) равнобедренный с углом \(120^\circ\) при вершине \(B\), поэтому \(\angle BAC = 30^\circ\) и \(\angle FAC = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ\). Аналогично \(\angle AFD = 90^\circ\). Значит, прямая \(AF\) перпендикулярна диагоналям \(AC\) и \(FD\) (эти диагонали параллельны: в плоскости шестиугольника обе перпендикулярны прямой \(AF\)). Но прямая \(AF\) лежит в плоскости \(\alpha\) и потому не перпендикулярна этой плоскости.
Ответ: 1) верно; 2) неверно; 3) неверно; 4) верно; 5) неверно.
