Страница 93 номер 8.24, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(A_1\), \(B_1\) и \(D_1\) (рис. 8.38) являются изображениями соответственно вершин \(A\), \(B\) и \(D\) правильного шестиугольника \(ABCDEF\). Постройте изображение этого шестиугольника.
Пусть \(O\) — центр данного правильного шестиугольника \(ABCDEF\). Диагонали \(AD\), \(BE\) и \(CF\) проходят через точку \(O\), и она является серединой каждой из них.
Треугольники \(OAB\) и \(OBC\) равносторонние: их углы при вершине \(O\) равны \(\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\), а стороны \(OA\), \(OB\) и \(OC\) равны как радиусы описанной окружности. Поэтому \(OA = AB = BC\) и \(\angle OAB = 60^\circ\). Угол правильного шестиугольника равен \(120^\circ\), то есть \(\angle ABC = 120^\circ\), и сумма углов \(OAB\) и \(ABC\) равна \(180^\circ\). Эти углы — внутренние односторонние при прямых \(AO\) и \(BC\) и секущей \(AB\), поэтому \(AO \parallel BC\). В четырёхугольнике \(ABCO\) противолежащие стороны \(AO\) и \(BC\) параллельны и равны, следовательно, \(ABCO\) — параллелограмм.
По теореме 7.3 изображением центра \(O\) служит середина \(O_1\) отрезка \(A_1D_1\).
Изображением параллелограмма является параллелограмм, поэтому точка \(C_1\) — четвёртая вершина параллелограмма \(A_1B_1C_1O_1\). А так как точка \(O_1\) — середина отрезков \(B_1E_1\) и \(C_1F_1\), точки \(E_1\) и \(F_1\) получаются продолжением отрезков \(B_1O_1\) и \(C_1O_1\) за точку \(O_1\) на такую же длину.
Ответ: искомое изображение — шестиугольник \(A_1B_1C_1D_1E_1F_1\), у которого \(O_1\) — середина отрезка \(A_1D_1\), точка \(C_1\) — четвёртая вершина параллелограмма \(A_1B_1C_1O_1\), а точки \(E_1\) и \(F_1\) симметричны точкам \(B_1\) и \(C_1\) относительно точки \(O_1\).
Точки \(A_1\), \(B_1\) и \(D_1\) (рис. 8.38) являются изображениями соответственно вершин \(A\), \(B\) и \(D\) правильного шестиугольника \(ABCDEF\). Постройте изображение этого шестиугольника.
Пусть \(O\) — центр данного правильного шестиугольника \(ABCDEF\). Диагонали \(AD\), \(BE\) и \(CF\) проходят через точку \(O\), и она является серединой каждой из них.
Треугольники \(OAB\) и \(OBC\) равносторонние: их углы при вершине \(O\) равны \(\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\), а стороны \(OA\), \(OB\) и \(OC\) равны как радиусы описанной окружности. Поэтому \(OA = AB = BC\) и \(\angle OAB = 60^\circ\). Угол правильного шестиугольника равен \(120^\circ\), то есть \(\angle ABC = 120^\circ\), и сумма углов \(OAB\) и \(ABC\) равна \(180^\circ\). Эти углы — внутренние односторонние при прямых \(AO\) и \(BC\) и секущей \(AB\), поэтому \(AO \parallel BC\). В четырёхугольнике \(ABCO\) противолежащие стороны \(AO\) и \(BC\) параллельны и равны, следовательно, \(ABCO\) — параллелограмм.
Из теоремы 7.3 следует, что параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции. Поэтому изображением центра \(O\) служит середина \(O_1\) отрезка \(A_1D_1\).
Изображением параллелограмма является параллелограмм, поэтому точка \(C_1\) — четвёртая вершина параллелограмма \(A_1B_1C_1O_1\). А так как точка \(O_1\) — середина отрезков \(B_1E_1\) и \(C_1F_1\), точки \(E_1\) и \(F_1\) получаются продолжением отрезков \(B_1O_1\) и \(C_1O_1\) за точку \(O_1\) на такую же длину.
Ответ: искомое изображение — шестиугольник \(A_1B_1C_1D_1E_1F_1\), у которого \(O_1\) — середина отрезка \(A_1D_1\), точка \(C_1\) — четвёртая вершина параллелограмма \(A_1B_1C_1O_1\), а точки \(E_1\) и \(F_1\) симметричны точкам \(B_1\) и \(C_1\) относительно точки \(O_1\).
