Страница 93 номер 8.22, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) являются изображениями соответственно вершин \(A\), \(B\) и \(C\) правильного шестиугольника \(ABCDEF\) (рис. 8.36). Постройте изображение данного шестиугольника.
Пусть \(O\) — центр данного правильного шестиугольника \(ABCDEF\). Центральный угол \(AOB\) равен \(\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\), а \(OA = OB\) как радиусы описанной окружности, поэтому треугольник \(OAB\) равносторонний; так же равносторонним является треугольник \(OBC\). Значит, \(OA = AB = BC\) и \(\angle OAB = 60^\circ\).
Угол правильного шестиугольника равен \(120^\circ\), то есть \(\angle ABC = 120^\circ\). Углы \(OAB\) и \(ABC\) — внутренние односторонние при прямых \(AO\) и \(BC\) и секущей \(AB\), а их сумма равна \(180^\circ\), поэтому \(AO \parallel BC\). В четырёхугольнике \(ABCO\) противолежащие стороны \(AO\) и \(BC\) параллельны и равны, следовательно, \(ABCO\) — параллелограмм.
Диагонали \(AD\), \(BE\) и \(CF\) шестиугольника проходят через центр \(O\), и точка \(O\) — середина каждой из них.
Изображением параллелограмма является параллелограмм, поэтому изображением центра \(O\) служит такая точка \(O_1\), что \(A_1B_1C_1O_1\) — параллелограмм.
По теореме 7.3 точка \(O_1\) — середина каждого из отрезков \(A_1D_1\), \(B_1E_1\) и \(C_1F_1\), то есть точки \(D_1\), \(E_1\) и \(F_1\) получаются продолжением отрезков \(A_1O_1\), \(B_1O_1\) и \(C_1O_1\) за точку \(O_1\) на такую же длину.
Ответ: искомое изображение — шестиугольник \(A_1B_1C_1D_1E_1F_1\), у которого \(O_1\) — четвёртая вершина параллелограмма \(A_1B_1C_1O_1\), а точки \(D_1\), \(E_1\) и \(F_1\) симметричны точкам \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) относительно точки \(O_1\).
Точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) являются изображениями соответственно вершин \(A\), \(B\) и \(C\) правильного шестиугольника \(ABCDEF\) (рис. 8.36). Постройте изображение данного шестиугольника.
Пусть \(O\) — центр данного правильного шестиугольника \(ABCDEF\). Центральный угол \(AOB\) равен \(\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\), а \(OA = OB\) как радиусы описанной окружности, поэтому треугольник \(OAB\) равносторонний; так же равносторонним является треугольник \(OBC\). Значит, \(OA = AB = BC\) и \(\angle OAB = 60^\circ\).
Угол правильного шестиугольника равен \(120^\circ\), то есть \(\angle ABC = 120^\circ\). Углы \(OAB\) и \(ABC\) — внутренние односторонние при прямых \(AO\) и \(BC\) и секущей \(AB\), а их сумма равна \(180^\circ\), поэтому \(AO \parallel BC\). В четырёхугольнике \(ABCO\) противолежащие стороны \(AO\) и \(BC\) параллельны и равны, следовательно, \(ABCO\) — параллелограмм.
Кроме того, диагонали \(AD\), \(BE\) и \(CF\) шестиугольника проходят через центр \(O\), и точка \(O\) — середина каждой из них.
Изображением параллелограмма является параллелограмм, поэтому изображением центра \(O\) служит такая точка \(O_1\), что \(A_1B_1C_1O_1\) — параллелограмм: она получается пересечением прямой, проведённой через точку \(A_1\) параллельно \(B_1C_1\), с прямой, проведённой через точку \(C_1\) параллельно \(A_1B_1\).
Из теоремы 7.3 следует, что параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции. Поэтому точка \(O_1\) — середина каждого из отрезков \(A_1D_1\), \(B_1E_1\) и \(C_1F_1\), то есть точки \(D_1\), \(E_1\) и \(F_1\) получаются продолжением отрезков \(A_1O_1\), \(B_1O_1\) и \(C_1O_1\) за точку \(O_1\) на такую же длину.
Ответ: искомое изображение — шестиугольник \(A_1B_1C_1D_1E_1F_1\), у которого \(O_1\) — четвёртая вершина параллелограмма \(A_1B_1C_1O_1\), а точки \(D_1\), \(E_1\) и \(F_1\) симметричны точкам \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) относительно точки \(O_1\).
