Страница 93 номер 8.23, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Точки \(A_1\), \(B_1\) и \(O_1\) являются изображениями соответственно вершин \(A\), \(B\) и центра \(O\) правильного треугольника \(ABC\) (рис. 8.37). Постройте изображение данного треугольника.
Пусть точка \(N\) — середина стороны \(AB\) правильного треугольника \(ABC\). Центром правильного треугольника является точка пересечения его медиан, поэтому точка \(O\) лежит на медиане \(CN\) и делит её в отношении \(CO : ON = 2 : 1\), считая от вершины \(C\), то есть \(NO : NC = 1 : 3\).
По теореме 7.3 изображением точки \(N\) служит середина \(N_1\) отрезка \(A_1B_1\).
Точки \(N\), \(O\) и \(C\) лежат на одной прямой, причём точка \(O\) лежит между точками \(N\) и \(C\), поэтому точка \(O_1\) лежит между точками \(N_1\) и \(C_1\), а по теореме 7.3 \(N_1O_1 : N_1C_1 = 1 : 3\). Значит, точка \(C_1\) — точка луча \(N_1O_1\), для которой \(N_1C_1 = 3\,N_1O_1\).
Ответ: искомое изображение — треугольник \(A_1B_1C_1\), у которого \(C_1\) — точка луча \(N_1O_1\), для которой \(N_1C_1 = 3\,N_1O_1\), где \(N_1\) — середина отрезка \(A_1B_1\).
Точки \(A_1\), \(B_1\) и \(O_1\) являются изображениями соответственно вершин \(A\), \(B\) и центра \(O\) правильного треугольника \(ABC\) (рис. 8.37). Постройте изображение данного треугольника.
Пусть точка \(N\) — середина стороны \(AB\) правильного треугольника \(ABC\). Центром правильного треугольника является точка пересечения его медиан, поэтому точка \(O\) лежит на медиане \(CN\) и делит её в отношении \(CO : ON = 2 : 1\), считая от вершины \(C\). Значит, \(NO : NC = 1 : 3\).
Из теоремы 7.3 следует, что параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции. Поэтому изображением точки \(N\) служит середина \(N_1\) отрезка \(A_1B_1\).
Точки \(N\), \(O\) и \(C\) лежат на одной прямой, причём точка \(O\) лежит между точками \(N\) и \(C\), поэтому точка \(O_1\) лежит между точками \(N_1\) и \(C_1\). Отношение длин параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению длин самих отрезков (теорема 7.3), поэтому \(N_1O_1 : N_1C_1 = 1 : 3\). Значит, точка \(C_1\) — точка луча \(N_1O_1\), для которой \(N_1C_1 = 3\,N_1O_1\).
Ответ: искомое изображение — треугольник \(A_1B_1C_1\), у которого \(C_1\) — точка луча \(N_1O_1\), для которой \(N_1C_1 = 3\,N_1O_1\), где \(N_1\) — середина отрезка \(A_1B_1\).
