Страница 93 номер 8.21, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Эллипс с центром \(O_1\) является изображением окружности с центром \(O\), точка \(A_1\) — изображение точки \(A\) окружности (рис. 8.35). Постройте изображение касательной к данной окружности, проходящей через точку \(A\).
Возьмём на эллипсе хорду \(P_1Q_1\), параллельную прямой \(O_1A_1\) и не проходящую через точку \(O_1\) (иначе эта хорда лежала бы на прямой \(O_1A_1\) и её серединой была бы сама точка \(O_1\)), и отметим её середину \(Z_1\).
Пусть \(PQ\) — та хорда данной окружности, изображением которой является хорда \(P_1Q_1\), а точка \(Z\) — середина хорды \(PQ\). Прямые \(PQ\) и \(OA\) лежат в плоскости данной окружности; если бы они пересекались, то пересекались бы и их изображения. Значит, \(PQ \parallel OA\).
Радиус, проведённый в середину хорды, перпендикулярен этой хорде, поэтому \(OZ \perp PQ\), а вместе с тем и \(OZ \perp OA\). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому касательная \(t\), проходящая через точку \(A\), перпендикулярна прямой \(OA\). Прямые \(t\) и \(OZ\) лежат в плоскости данной окружности и перпендикулярны одной и той же прямой \(OA\), следовательно, \(t \parallel OZ\).
По теореме 7.3 изображением точки \(Z\) служит середина \(Z_1\) хорды \(P_1Q_1\), а изображением прямой \(OZ\) — прямая \(O_1Z_1\). Поскольку \(t \parallel OZ\), то по теореме 7.2 изображениями прямых \(t\) и \(OZ\) являются или одна прямая, или две параллельные прямые. Слиться в одну прямую они не могут: изображением данной окружности служит эллипс, а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости окружности или лежала в ней, изображением окружности был бы отрезок. Значит, изображением касательной \(t\) является прямая \(t_1\), проходящая через точку \(A_1\) параллельно прямой \(O_1Z_1\).
Ответ: изображением касательной служит прямая, проходящая через точку \(A_1\) параллельно прямой \(O_1Z_1\), где \(Z_1\) — середина какой-нибудь хорды эллипса, параллельной прямой \(O_1A_1\) и не проходящей через точку \(O_1\).
Эллипс с центром \(O_1\) является изображением окружности с центром \(O\), точка \(A_1\) — изображение точки \(A\) окружности (рис. 8.35). Постройте изображение касательной к данной окружности, проходящей через точку \(A\).
Проведём какую-нибудь хорду \(P_1Q_1\) эллипса, параллельную прямой \(O_1A_1\) и не проходящую через точку \(O_1\) (иначе эта хорда лежала бы на прямой \(O_1A_1\) и её серединой была бы сама точка \(O_1\)), и отметим её середину \(Z_1\). Такую хорду можно взять любую.
Пусть \(PQ\) — та хорда данной окружности, изображением которой является хорда \(P_1Q_1\), а точка \(Z\) — середина хорды \(PQ\). Прямые \(PQ\) и \(OA\) лежат в плоскости данной окружности; если бы они пересекались, то пересекались бы и их изображения. Значит, \(PQ \parallel OA\).
Радиус, проведённый в середину хорды, перпендикулярен этой хорде, поэтому \(OZ \perp PQ\), а вместе с тем и \(OZ \perp OA\). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому касательная \(t\), проходящая через точку \(A\), перпендикулярна прямой \(OA\). Прямые \(t\) и \(OZ\) лежат в плоскости данной окружности и перпендикулярны одной и той же прямой \(OA\), следовательно, \(t \parallel OZ\).
Из теоремы 7.3 следует, что параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции. Поэтому изображением точки \(Z\) служит середина \(Z_1\) хорды \(P_1Q_1\), а изображением прямой \(OZ\) — прямая \(O_1Z_1\). Поскольку \(t \parallel OZ\), то по теореме 7.2 изображениями прямых \(t\) и \(OZ\) являются или одна прямая, или две параллельные прямые. Слиться в одну прямую они не могут: изображением данной окружности служит эллипс, а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости окружности или лежала в ней, изображением окружности был бы отрезок. Значит, изображением касательной \(t\) является прямая \(t_1\), проходящая через точку \(A_1\) параллельно прямой \(O_1Z_1\).
Ответ: изображением касательной служит прямая, проходящая через точку \(A_1\) параллельно прямой \(O_1Z_1\), где \(Z_1\) — середина какой-нибудь хорды эллипса, параллельной прямой \(O_1A_1\) и не проходящей через точку \(O_1\).
