Страница 92 номер 8.19, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Эллипс с центром \(O_1\) и треугольник \(A_1B_1C_1\) являются изображениями окружности с центром \(O\) и вписанного в неё треугольника \(ABC\) (рис. 8.33). Постройте изображение высоты треугольника \(ABC\), проведённой из вершины \(A\).
Пусть \(AH\) — высота, проведённая из вершины \(A\), а точка \(M\) — середина стороны \(BC\). Точка \(O\) не совпадает с точкой \(M\): иначе хорда \(BC\) была бы диаметром окружности и проходила бы через точку \(O\), а тогда и отрезок \(B_1C_1\) проходил бы через точку \(O_1\), тогда как на рисунке точка \(O_1\) этому отрезку не принадлежит. Поэтому отрезок \(OM\) задаёт направление.
Центр \(O\) окружности равноудалён от точек \(B\) и \(C\), поэтому он лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(BC\), а значит, \(OM \perp BC\). Высота \(AH\) также перпендикулярна прямой \(BC\). Прямые \(AH\) и \(OM\) различны: точка \(A\) прямой \(OM\) не принадлежит, так как её изображение \(A_1\) не лежит на прямой \(O_1M_1\), где \(M_1\) — середина отрезка \(B_1C_1\). Обе прямые лежат в плоскости треугольника \(ABC\), а две различные прямые одной плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, поэтому \(AH \parallel OM\).
Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображением точки \(M\) служит середина \(M_1\) стороны \(B_1C_1\).
По теореме 7.2 параллельными проекциями двух параллельных прямых являются или одна прямая, или две параллельные прямые, а параллельной проекцией отрезка является отрезок (теорема 7.1). Слиться в одну прямую проекции не могут: изображением треугольника \(ABC\) служит треугольник \(A_1B_1C_1\), а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости \(ABC\) или лежала в ней, изображением треугольника был бы отрезок.
Значит, изображением высоты \(AH\) служит отрезок \(A_1H_1\), где \(H_1\) — точка пересечения стороны \(B_1C_1\) и прямой, проходящей через точку \(A_1\) параллельно отрезку \(O_1M_1\).
Ответ: искомое изображение высоты — отрезок \(A_1H_1\), где точка \(H_1\) лежит на стороне \(B_1C_1\) и \(A_1H_1 \parallel O_1M_1\), а \(M_1\) — середина стороны \(B_1C_1\).
Эллипс с центром \(O_1\) и треугольник \(A_1B_1C_1\) являются изображениями окружности с центром \(O\) и вписанного в неё треугольника \(ABC\) (рис. 8.33). Постройте изображение высоты треугольника \(ABC\), проведённой из вершины \(A\).
Пусть \(AH\) — высота треугольника \(ABC\), проведённая из вершины \(A\), а точка \(M\) — середина стороны \(BC\).
Точка \(O\) не совпадает с точкой \(M\): иначе хорда \(BC\) была бы диаметром окружности и проходила бы через точку \(O\), а тогда и отрезок \(B_1C_1\) проходил бы через точку \(O_1\), тогда как на рисунке точка \(O_1\) этому отрезку не принадлежит. Поэтому отрезок \(OM\) задаёт направление.
Центр \(O\) окружности равноудалён от точек \(B\) и \(C\), поэтому он лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(BC\), а значит, \(OM \perp BC\). Высота \(AH\) также перпендикулярна прямой \(BC\). Прямые \(AH\) и \(OM\) различны: точка \(A\) прямой \(OM\) не принадлежит, так как её изображение \(A_1\) не лежит на прямой \(O_1M_1\), где \(M_1\) — середина отрезка \(B_1C_1\). Обе прямые лежат в плоскости треугольника \(ABC\), а две различные прямые одной плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, поэтому \(AH \parallel OM\).
Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображением точки \(M\) служит середина \(M_1\) стороны \(B_1C_1\).
По теореме 7.2 параллельными проекциями двух параллельных прямых являются или одна прямая, или две параллельные прямые, а параллельной проекцией отрезка является отрезок (теорема 7.1). Слиться в одну прямую проекции не могут: изображением треугольника \(ABC\) служит треугольник \(A_1B_1C_1\), а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости \(ABC\) или лежала в ней, изображением треугольника был бы отрезок.
Значит, изображением высоты \(AH\) служит отрезок \(A_1H_1\), параллельный отрезку \(O_1M_1\), где \(H_1\) — точка пересечения стороны \(B_1C_1\) и прямой, проходящей через точку \(A_1\) параллельно отрезку \(O_1M_1\).
Ответ: искомое изображение высоты — отрезок \(A_1H_1\), где точка \(H_1\) лежит на стороне \(B_1C_1\) и \(A_1H_1 \parallel O_1M_1\), а \(M_1\) — середина стороны \(B_1C_1\).
