Страница 93 номер 8.20, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Эллипс, изображение центра которого не показано, является изображением окружности с центром \(O\) (рис. 8.34). Постройте изображение точки \(O\).
Проведём в данной окружности две параллельные между собой хорды и обозначим их середины через \(M\) и \(N\).
Диаметр, перпендикулярный первой из этих хорд, делит её пополам, то есть проходит через точку \(M\). Вторая хорда параллельна первой, поэтому тот же диаметр перпендикулярен и ей, а значит, проходит через её середину \(N\). Следовательно, точки \(M\), \(N\) и центр \(O\) лежат на одной прямой.
Изображением данной окружности служит эллипс, а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости окружности или лежала в ней, изображением окружности был бы отрезок. Значит, различные прямые плоскости окружности имеют различные изображения.
По теореме 7.2 параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых, а на одной прямой изображения проведённых хорд оказаться не могут. Поэтому изображениями этих хорд служат две параллельные хорды эллипса. Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображениями точек \(M\) и \(N\) служат середины \(M_1\) и \(N_1\) этих хорд. Параллельной проекцией прямой является прямая (теорема 7.1), поэтому изображение \(O_1\) центра окружности лежит на прямой \(M_1N_1\).
Возьмём ещё две параллельные между собой хорды, не параллельные первым двум, и обозначим их середины через \(P\) и \(Q\). Точно так же точки \(P\), \(Q\) и центр \(O\) лежат на одной прямой, а изображение \(O_1\) лежит на прямой \(P_1Q_1\), где \(P_1\) и \(Q_1\) — середины изображений этих хорд.
Прямые \(MN\) и \(PQ\) различны, так как они перпендикулярны непараллельным хордам, а различные прямые плоскости окружности имеют различные изображения. Значит, прямые \(M_1N_1\) и \(P_1Q_1\) различны, и точка \(O_1\) — их точка пересечения.
Обе пары параллельных хорд можно взять любые: нужно лишь, чтобы хорды одной пары не были параллельны хордам другой.
Ответ: искомое изображение центра — точка \(O_1\) пересечения прямой, проходящей через середины двух параллельных хорд эллипса, и прямой, проходящей через середины двух параллельных хорд эллипса другого направления.
Эллипс, изображение центра которого не показано, является изображением окружности с центром \(O\) (рис. 8.34). Постройте изображение точки \(O\).
Проведём в данной окружности две параллельные между собой хорды и обозначим их середины через \(M\) и \(N\).
Диаметр, перпендикулярный первой из этих хорд, делит её пополам, то есть проходит через точку \(M\). Вторая хорда параллельна первой, поэтому тот же диаметр перпендикулярен и ей, а значит, проходит через её середину \(N\). Следовательно, точки \(M\), \(N\) и центр \(O\) лежат на одной прямой.
Изображением данной окружности служит эллипс, а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости окружности или лежала в ней, изображением окружности был бы отрезок. Значит, различные прямые плоскости окружности имеют различные изображения.
По теореме 7.2 параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых, а на одной прямой изображения проведённых хорд оказаться не могут. Поэтому изображениями этих хорд служат две параллельные хорды эллипса. Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображениями точек \(M\) и \(N\) служат середины \(M_1\) и \(N_1\) этих хорд. Параллельной проекцией прямой является прямая (теорема 7.1), поэтому изображение \(O_1\) центра окружности лежит на прямой \(M_1N_1\).
Возьмём в данной окружности ещё две параллельные между собой хорды, не параллельные первым двум, и обозначим их середины через \(P\) и \(Q\). Точно так же точки \(P\), \(Q\) и центр \(O\) лежат на одной прямой, а изображение \(O_1\) лежит на прямой \(P_1Q_1\), где \(P_1\) и \(Q_1\) — середины изображений этих хорд.
Прямые \(MN\) и \(PQ\) различны, так как они перпендикулярны непараллельным хордам, а различные прямые плоскости окружности имеют различные изображения. Значит, прямые \(M_1N_1\) и \(P_1Q_1\) различны, и точка \(O_1\) — их точка пересечения.
Обе пары параллельных хорд можно взять любые: нужно лишь, чтобы хорды одной пары не были параллельны хордам другой.
Ответ: искомое изображение центра — точка \(O_1\) пересечения прямой, проходящей через середины двух параллельных хорд эллипса, и прямой, проходящей через середины двух параллельных хорд эллипса другого направления.
