Страница 92 номер 8.18, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Эллипс с центром \(O_1\) является изображением окружности с центром \(O\) (рис. 8.32), отрезок \(A_1B_1\) — изображение диаметра \(AB\) данной окружности. Постройте изображение диаметра, перпендикулярного диаметру \(AB\).
Пусть \(CD\) — диаметр данной окружности, перпендикулярный диаметру \(AB\). Проведём хорду \(PQ\), параллельную диаметру \(AB\) и отличную от него, и пусть точка \(Z\) — середина хорды \(PQ\).
Диаметр \(CD\) перпендикулярен хорде \(PQ\), так как \(PQ \parallel AB\) и \(CD \perp AB\). Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому \(CD\) проходит через точку \(Z\). Значит, точки \(C\), \(O\), \(Z\) и \(D\) лежат на одной прямой.
По теореме 7.2 параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На одной прямой изображения диаметра \(AB\) и хорды \(PQ\) оказаться не могут: изображением данной окружности служит эллипс, а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости окружности или лежала в ней, изображением окружности был бы отрезок.
Значит, изображением хорды \(PQ\) служит хорда \(P_1Q_1\) эллипса, параллельная отрезку \(A_1B_1\). Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображением точки \(Z\) служит середина \(Z_1\) хорды \(P_1Q_1\).
Параллельной проекцией прямой является прямая (теорема 7.1), поэтому изображением диаметра \(CD\) служит хорда \(C_1D_1\) эллипса, проходящая через точки \(O_1\) и \(Z_1\).
Хорду, параллельную отрезку \(A_1B_1\) и отличную от него, можно взять любую: середина каждой такой хорды лежит на прямой \(O_1Z_1\).
Ответ: искомое изображение диаметра, перпендикулярного диаметру \(AB\), — хорда \(C_1D_1\) эллипса, проходящая через центр \(O_1\) и середину \(Z_1\) какой-нибудь хорды \(P_1Q_1\), параллельной отрезку \(A_1B_1\) и отличной от него.
Эллипс с центром \(O_1\) является изображением окружности с центром \(O\) (рис. 8.32), отрезок \(A_1B_1\) — изображение диаметра \(AB\) данной окружности. Постройте изображение диаметра, перпендикулярного диаметру \(AB\).
Пусть \(CD\) — диаметр данной окружности, перпендикулярный диаметру \(AB\). Проведём какую-нибудь хорду \(PQ\) этой окружности, параллельную диаметру \(AB\) и отличную от него, и пусть точка \(Z\) — середина хорды \(PQ\).
Диаметр \(CD\) перпендикулярен хорде \(PQ\), так как \(PQ \parallel AB\) и \(CD \perp AB\). Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам, поэтому диаметр \(CD\) проходит через точку \(Z\). Значит, точки \(C\), \(O\), \(Z\) и \(D\) лежат на одной прямой.
По теореме 7.2 параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На одной прямой изображения диаметра \(AB\) и хорды \(PQ\) оказаться не могут: изображением данной окружности служит эллипс, а если бы прямая, задающая направление проектирования, была параллельна плоскости окружности или лежала в ней, изображением окружности был бы отрезок.
Значит, изображением хорды \(PQ\) служит хорда \(P_1Q_1\) эллипса, параллельная отрезку \(A_1B_1\). Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображением точки \(Z\) служит середина \(Z_1\) хорды \(P_1Q_1\).
Точки \(C\), \(O\), \(Z\) и \(D\) лежат на одной прямой, а параллельной проекцией прямой является прямая (теорема 7.1). Значит, изображением диаметра \(CD\) является хорда \(C_1D_1\) эллипса, проходящая через точки \(O_1\) и \(Z_1\).
Хорду, параллельную отрезку \(A_1B_1\) и отличную от него, можно взять любую: середина каждой такой хорды лежит на прямой \(O_1Z_1\).
Ответ: искомое изображение диаметра, перпендикулярного диаметру \(AB\), — хорда \(C_1D_1\) эллипса, проходящая через центр \(O_1\) и середину \(Z_1\) какой-нибудь хорды \(P_1Q_1\), параллельной отрезку \(A_1B_1\) и отличной от него.
