Страница 92 номер 8.17, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Треугольник \(A_1B_1C_1\) — изображение прямоугольного равнобедренного треугольника \(ABC\) с гипотенузой \(AB\). Постройте изображение квадрата со стороной \(AB\), лежащего в плоскости \(ABC\) и расположенного вне треугольника \(ABC\).
Пусть \(ABPQ\) — данный квадрат, а \(N\) — середина стороны \(AB\).
Медиана \(CN\) прямоугольного треугольника \(ABC\), проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому \(CN = \frac{1}{2} AB\). Треугольник \(ABC\) равнобедренный, поэтому медиана \(CN\) является и высотой, то есть \(CN \perp AB\).
Квадрат со стороной \(AB\) в плоскости \(ABC\) можно построить по любую сторону от прямой \(AB\). Если бы он лежал по ту же сторону, что и вершина \(C\), то точка \(C\) оказалась бы внутри этого квадрата: основание \(N\) перпендикуляра \(CN\) — внутренняя точка стороны \(AB\), а сам перпендикуляр \(CN\) вдвое короче стороны квадрата. Тогда квадрат не был бы расположен вне треугольника \(ABC\). Значит, искомый квадрат лежит по другую сторону от прямой \(AB\), чем вершина \(C\).
Отметим точку \(S\), для которой точка \(N\) — середина отрезка \(CS\). Тогда \(CS = 2CN = AB\), а точка \(S\) лежит по другую сторону от прямой \(AB\), чем вершина \(C\), то есть с той же стороны, что и квадрат.
Стороны \(AQ\) и \(BP\) квадрата и прямая \(CS\) перпендикулярны прямой \(AB\), поэтому \(AQ \parallel CS\) и \(BP \parallel CS\), причём \(AQ = BP = AB = CS\). Если две противолежащие стороны четырёхугольника параллельны и равны, то он является параллелограммом, поэтому \(AQSC\) и \(BPSC\) — параллелограммы.
Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображением точки \(N\) служит середина \(N_1\) отрезка \(A_1B_1\), а изображением точки \(S\) — такая точка \(S_1\), что точка \(N_1\) — середина отрезка \(C_1S_1\).
Изображением параллелограмма является параллелограмм, поэтому изображением точки \(Q\) служит четвёртая вершина \(Q_1\) параллелограмма \(A_1Q_1S_1C_1\), а изображением точки \(P\) — четвёртая вершина \(P_1\) параллелограмма \(B_1P_1S_1C_1\).
Ответ: искомое изображение квадрата — параллелограмм \(A_1B_1P_1Q_1\), где \(S_1\) — такая точка, что середина \(N_1\) отрезка \(A_1B_1\) является серединой отрезка \(C_1S_1\), а \(Q_1\) и \(P_1\) — четвёртые вершины параллелограммов \(A_1Q_1S_1C_1\) и \(B_1P_1S_1C_1\).
Треугольник \(A_1B_1C_1\) — изображение прямоугольного равнобедренного треугольника \(ABC\) с гипотенузой \(AB\). Постройте изображение квадрата со стороной \(AB\), лежащего в плоскости \(ABC\) и расположенного вне треугольника \(ABC\).
Пусть \(ABPQ\) — квадрат со стороной \(AB\), лежащий в плоскости \(ABC\) вне треугольника \(ABC\), а \(N\) — середина стороны \(AB\).
Медиана \(CN\) прямоугольного треугольника \(ABC\), проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому \(CN = \frac{1}{2} AB\). Кроме того, треугольник \(ABC\) равнобедренный, поэтому медиана \(CN\) является и высотой, то есть \(CN \perp AB\).
Квадрат со стороной \(AB\) в плоскости \(ABC\) можно построить по любую сторону от прямой \(AB\). Если бы он лежал по ту же сторону, что и вершина \(C\), то точка \(C\) оказалась бы внутри этого квадрата: основание \(N\) перпендикуляра \(CN\) — внутренняя точка стороны \(AB\), а сам перпендикуляр \(CN\) вдвое короче стороны квадрата. Тогда квадрат не был бы расположен вне треугольника \(ABC\). Значит, искомый квадрат лежит по другую сторону от прямой \(AB\), чем вершина \(C\).
Отметим точку \(S\), для которой точка \(N\) — середина отрезка \(CS\). Тогда \(CS = 2CN = AB\), а точка \(S\) лежит по другую сторону от прямой \(AB\), чем вершина \(C\), то есть с той же стороны, что и квадрат.
Стороны \(AQ\) и \(BP\) квадрата перпендикулярны прямой \(AB\), и прямая \(CS\) перпендикулярна прямой \(AB\), поэтому \(AQ \parallel CS\) и \(BP \parallel CS\). Кроме того, \(AQ = BP = AB = CS\).
Если две противолежащие стороны четырёхугольника параллельны и равны, то он является параллелограммом, поэтому \(AQSC\) и \(BPSC\) — параллелограммы.
Параллельной проекцией середины отрезка является середина его параллельной проекции, поэтому изображением точки \(N\) служит середина \(N_1\) отрезка \(A_1B_1\), а изображением точки \(S\) — такая точка \(S_1\), что точка \(N_1\) — середина отрезка \(C_1S_1\).
Изображением параллелограмма является параллелограмм, поэтому изображением точки \(Q\) служит четвёртая вершина \(Q_1\) параллелограмма \(A_1Q_1S_1C_1\), а изображением точки \(P\) — четвёртая вершина \(P_1\) параллелограмма \(B_1P_1S_1C_1\).
Ответ: искомое изображение квадрата — параллелограмм \(A_1B_1P_1Q_1\), где \(S_1\) — такая точка, что середина \(N_1\) отрезка \(A_1B_1\) является серединой отрезка \(C_1S_1\), а \(Q_1\) и \(P_1\) — четвёртые вершины параллелограммов \(A_1Q_1S_1C_1\) и \(B_1P_1S_1C_1\).
