Вопросы после параграфа §27 на странице 133, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Не зависит: вероятность каждой конкретной выборки одна и та же, выбирали ли элементы по одному или все сразу. Поэтому последовательный выбор можно заменять одновременным, а одновременный — последовательным, смотря что удобнее считать.
Например, в ящике 5 одинаковых на вид шаров, из них 2 белых, и наудачу берут 2 шара.
Одновременный выбор: все пары равновозможны, пар всего \(C_5^2 = 10\), пара из двух белых одна, поэтому вероятность равна \(\frac{C_2^2}{C_5^2} = \frac{1}{10}\).
Последовательный выбор: первый шар белый с вероятностью \(\frac{2}{5}\), второй при уже вынутом белом — с вероятностью \(\frac{1}{4}\), потому что осталось 4 шара и среди них 1 белый; вероятность того, что оба шара белые, равна \(\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}\). Числа совпали.
Ответ: не зависит — вероятность конкретной выборки одна и та же и при последовательном, и при одновременном выборе.
В серии испытаний Бернулли испытания одинаковы и независимы: вероятность успеха \(p\) в каждом одна и та же, и исход предыдущих испытаний её не меняет.
При последовательном выборе каждое извлечение уносит из совокупности один элемент, её состав меняется, поэтому вероятность успеха в следующем извлечении зависит от того, что вынули раньше, и извлечения нельзя считать ни одинаковыми, ни независимыми.
Например, в ящике 5 шаров, из них 2 белых, успех — вынутый белый шар. В первом извлечении вероятность успеха равна \(\frac{2}{5}\), а во втором она равна \(\frac{1}{4}\), если сначала вынут белый шар, и \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), если не белый. В серии испытаний Бернулли она оставалась бы равной \(\frac{2}{5}\) и во втором испытании, и во всех следующих.
Ответ: в серии испытаний Бернулли испытания одинаковы и независимы, вероятность успеха в каждом из них одна и та же; при последовательном выборе из конечной совокупности её состав после каждого извлечения меняется, поэтому вероятность успеха в следующем извлечении зависит от того, что вынули раньше, и извлечения не одинаковы и не независимы.
В числителе нижние индексы говорят, сколько в совокупности успешных элементов (\(K = 8\)) и сколько неудачных (\(N - K = 5\)), а верхние — сколько успешных взято в выборку (\(k = 3\)) и сколько неудачных (\(n - k = 2\)).
В знаменателе стоит число всех выборок \(C_N^n\): его нижний индекс — объём совокупности, то есть \(8 + 5 = 13\), а верхний — объём выборки, то есть \(3 + 2 = 5\).
\[\mathrm{P}(A) = \frac{C_8^3 C_5^2}{C_{13}^5}.\]
Переставлять индексы нельзя: запись \(C_5^{13}\) бессмысленна, потому что выбрать 13 элементов из пяти невозможно.
Ответ: нижний индекс 13, верхний 5, то есть \(C_{13}^5\).
Не зависит: вероятность каждой конкретной выборки одна и та же, выбирали ли элементы один за другим или все сразу. Поэтому в решении задачи последовательный выбор можно заменять одновременным, а одновременный — последовательным, смотря что удобнее считать.
Например, в ящике 5 одинаковых на вид шаров, из них 2 белых, и наудачу берут 2 шара. При одновременном выборе все пары шаров равновозможны, всего пар \(C_5^2 = 10\), а пара из двух белых шаров одна, поэтому вероятность вынуть два белых шара равна \(\frac{C_2^2}{C_5^2} = \frac{1}{10}\). При последовательном выборе первый шар окажется белым с вероятностью \(\frac{2}{5}\), а второй при уже вынутом белом — с вероятностью \(\frac{1}{4}\), потому что в ящике осталось 4 шара и среди них 1 белый; вероятность того, что оба шара белые, равна \(\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}\). Числа совпали.
Ответ: не зависит — вероятность конкретной выборки одна и та же и при последовательном, и при одновременном выборе.
В серии испытаний Бернулли испытания одинаковы и независимы: вероятность успеха \(p\) в каждом испытании одна и та же, и исход предыдущих испытаний её не меняет.
При последовательном выборе из конечной совокупности каждое извлечение уносит из совокупности один элемент, поэтому её состав меняется. Вероятность успеха в следующем извлечении зависит от того, что вынули раньше, и извлечения нельзя считать ни одинаковыми, ни независимыми.
Например, в ящике 5 шаров, из них 2 белых, и успехом считается вынутый белый шар. В первом извлечении вероятность успеха равна \(\frac{2}{5}\). Во втором она уже другая, причём зависит от первого исхода: если сначала вынут белый шар, то она равна \(\frac{1}{4}\), а если не белый, то \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). В серии испытаний Бернулли вероятность успеха оставалась бы равной \(\frac{2}{5}\) и во втором испытании, и во всех следующих.
Ответ: в серии испытаний Бернулли испытания одинаковы и независимы, вероятность успеха в каждом из них одна и та же; при последовательном выборе из конечной совокупности её состав после каждого извлечения меняется, поэтому вероятность успеха в следующем извлечении зависит от того, что вынули раньше, и извлечения не одинаковы и не независимы.
В числителе стоят два числа сочетаний: успешные элементы совокупности и неудачные. Нижние индексы говорят, сколько в совокупности успешных элементов (\(K = 8\)) и сколько неудачных (\(N - K = 5\)), а верхние — сколько успешных взято в выборку (\(k = 3\)) и сколько неудачных (\(n - k = 2\)).
В знаменателе стоит число всех выборок \(C_N^n\). Его нижний индекс — объём совокупности, то есть сумма нижних индексов числителя: \(8 + 5 = 13\). Верхний индекс — объём выборки, то есть сумма верхних индексов числителя: \(3 + 2 = 5\). Значит, в знаменателе должно стоять число сочетаний \(C_{13}^5\), и формула принимает вид \(\mathrm{P}(A) = \frac{C_8^3 C_5^2}{C_{13}^5}\).
Переставлять индексы нельзя: запись \(C_5^{13}\) бессмысленна, потому что выбрать 13 элементов из пяти невозможно.
Ответ: нижний индекс 13, верхний 5, то есть \(C_{13}^5\).
