Страница 129 номер 263, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
В каждом испытании \(p = \frac{1}{3}\), \(q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\); испытания независимы, число их задано заранее: \(n = 4\). Вероятность события \(A_k\) «наступит ровно \(k\) успехов» равна
\[\mathrm{P}(A_k) = C_4^k \left(\frac{1}{3}\right)^k \left(\frac{2}{3}\right)^{4-k} = \frac{C_4^k \cdot 2^{\,4-k}}{81}.\]
Числа сочетаний — строка \(n = 4\) треугольника Паскаля: \(1;\ 4;\ 6;\ 4;\ 1\), откуда \(\mathrm{P}(A_0) = \frac{16}{81}\), \(\mathrm{P}(A_1) = \frac{32}{81}\), \(\mathrm{P}(A_2) = \frac{24}{81}\), \(\mathrm{P}(A_3) = \frac{8}{81}\), \(\mathrm{P}(A_4) = \frac{1}{81}\).
а) «Более 2 успехов» — это 3 или 4 успеха, случай двух успехов сюда не входит:
\[\mathrm{P} = \frac{8}{81} + \frac{1}{81} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111.\]
б) Испытаний четыре, поэтому «не более 2 неудач» значит «не менее 2 успехов»: если неудач не больше двух, то успехов не меньше чем \(4 - 2 = 2\). Складываем вероятности \(A_2\), \(A_3\) и \(A_4\):
\[\mathrm{P} = \frac{24 + 8 + 1}{81} = \frac{33}{81} = \frac{11}{27} \approx 0{,}407.\]
в) «Успехов меньше, чем неудач» значит, что успехов не больше одного: при двух успехах их было бы с неудачами поровну. Складываем вероятности \(A_0\) и \(A_1\):
\[\mathrm{P} = \frac{16 + 32}{81} = \frac{48}{81} = \frac{16}{27} \approx 0{,}593.\]
Проверка: события пунктов б) и в) противоположны и вместе исчерпывают все исходы серии: \(\frac{11}{27} + \frac{16}{27} = \frac{27}{27} = 1\).
Ответ: а) \(\frac{1}{9} \approx 0{,}111\); б) \(\frac{11}{27} \approx 0{,}407\); в) \(\frac{16}{27} \approx 0{,}593\).
Испытания одинаковы: в каждом успех наступает с вероятностью \(p = \frac{1}{3}\), а неудача — с вероятностью \(q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). Испытания независимы, и число их задано заранее: \(n = 4\). Значит, опыт — серия из 4 испытаний Бернулли, и по формуле Бернулли вероятность события \(A_k\) «наступит ровно \(k\) успехов» равна
\[\mathrm{P}(A_k) = C_4^k \left(\frac{1}{3}\right)^k \left(\frac{2}{3}\right)^{4-k} = \frac{C_4^k \cdot 2^{\,4-k}}{81}.\]
Числа сочетаний — строка \(n = 4\) треугольника Паскаля: \(1;\ 4;\ 6;\ 4;\ 1\). Отсюда \(\mathrm{P}(A_0) = \frac{16}{81}\), \(\mathrm{P}(A_1) = \frac{32}{81}\), \(\mathrm{P}(A_2) = \frac{24}{81}\), \(\mathrm{P}(A_3) = \frac{8}{81}\), \(\mathrm{P}(A_4) = \frac{1}{81}\). Сумма этих пяти вероятностей равна \(\frac{16 + 32 + 24 + 8 + 1}{81} = \frac{81}{81} = 1\), как и должно быть: других исходов у серии нет.
а) «Более 2 успехов» — это 3 или 4 успеха; случай ровно двух успехов сюда не входит. События \(A_3\) и \(A_4\) несовместны:
\[\mathrm{P} = \frac{8}{81} + \frac{1}{81} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111.\]
б) Испытаний четыре, поэтому «не более 2 неудач» значит «не менее 2 успехов»: если неудач не больше двух, то успехов не меньше чем \(4 - 2 = 2\). Складываем вероятности несовместных событий \(A_2\), \(A_3\) и \(A_4\):
\[\mathrm{P} = \frac{24 + 8 + 1}{81} = \frac{33}{81} = \frac{11}{27} \approx 0{,}407.\]
в) «Успехов меньше, чем неудач» значит, что успехов меньше половины из четырёх, то есть не больше одного: при двух успехах их было бы с неудачами поровну. Складываем вероятности событий \(A_0\) и \(A_1\):
\[\mathrm{P} = \frac{16 + 32}{81} = \frac{48}{81} = \frac{16}{27} \approx 0{,}593.\]
Проверка: события пунктов б) и в) противоположны — в одном успехов не меньше двух, в другом не больше одного, и вместе они исчерпывают все исходы серии. И действительно \(\frac{11}{27} + \frac{16}{27} = \frac{27}{27} = 1\).
Ответ: а) \(\frac{1}{9} \approx 0{,}111\); б) \(\frac{11}{27} \approx 0{,}407\); в) \(\frac{16}{27} \approx 0{,}593\).
