Страница 133 номер 268, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
ручек в коробке — 11
красных — 4
синих — 7
забирают не глядя 5 ручек
Найти: вероятность того, что среди взятых ручек: а) ровно 2 синие; б) ровно 3 синие; в) все 5 синие; г) не все красные.
Решение:
Ручки забирают не глядя, поэтому все наборы по 5 ручек равновозможны.
Совокупность — \(N = 11\) ручек, успех — синяя ручка: \(K = 7\), неудачных (красных) \(N - K = 4\); объём выборки \(n = 5\), число синих ручек в ней обозначим \(k\).
\[\mathrm{P}(A_k) = \frac{C_7^k \cdot C_4^{5-k}}{C_{11}^5}.\]
Знаменатель у всех пунктов один и тот же:
\[C_{11}^5 = \frac{11!}{5! \cdot 6!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 462.\]
а) Здесь \(k = 2\): две ручки синие, три красные.
\[\mathrm{P}(A_2) = \frac{C_7^2 \cdot C_4^3}{C_{11}^5} = \frac{21 \cdot 4}{462} = \frac{84}{462} = \frac{2}{11} \approx 0{,}182.\]
б) Здесь \(k = 3\): три ручки синие, две красные.
\[\mathrm{P}(A_3) = \frac{C_7^3 \cdot C_4^2}{C_{11}^5} = \frac{35 \cdot 6}{462} = \frac{210}{462} = \frac{5}{11} \approx 0{,}455.\]
в) Здесь \(k = 5\): все пять ручек из семи синих, красных ни одной, и \(C_4^0 = 1\); по симметричности \(C_7^5 = C_7^2 = 21\).
\[\mathrm{P}(A_5) = \frac{C_7^5 \cdot C_4^0}{C_{11}^5} = \frac{21 \cdot 1}{462} = \frac{21}{462} = \frac{1}{22} \approx 0{,}045.\]
г) Красных ручек всего 4, а забирают 5, поэтому выборки из одних красных ручек не существует вовсе: числа \(C_4^5\) не бывает. Значит, хотя бы одна взятая ручка синяя при любом выборе, событие «не все красные» достоверное, и его вероятность равна 1.
Ответ: а) \(\frac{2}{11} \approx 0{,}182\); б) \(\frac{5}{11} \approx 0{,}455\); в) \(\frac{1}{22} \approx 0{,}045\); г) 1.
Дано:
ручек в коробке — 11
красных — 4
синих — 7
забирают не глядя 5 ручек
Найти: вероятность того, что среди взятых ручек: а) ровно 2 синие; б) ровно 3 синие; в) все 5 синие; г) не все красные.
Решение:
Ручки забирают не глядя, поэтому все наборы по 5 ручек равновозможны. Порядок, в котором ручки вынимали, роли не играет, и последовательный выбор заменяем одновременным.
Совокупность — все ручки коробки, её объём \(N = 11\). Успехом считаем синюю ручку: успешных элементов \(K = 7\), неудачных (красных) \(N - K = 4\). Объём выборки \(n = 5\), а число синих ручек в выборке обозначим \(k\). Вероятность события \(A_k\) «среди взятых ручек ровно \(k\) синих» равна
\[\mathrm{P}(A_k) = \frac{C_7^k \cdot C_4^{5-k}}{C_{11}^5}.\]
Контроль по сумме индексов: сверху \(k + (5 - k) = 5\), снизу \(7 + 4 = 11\) — формула составлена верно.
Знаменатель у всех пунктов один и тот же:
\[C_{11}^5 = \frac{11!}{5! \cdot 6!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 462.\]
а) Здесь \(k = 2\): из семи синих ручек в выборку входят две, а из четырёх красных — три.
\[\mathrm{P}(A_2) = \frac{C_7^2 \cdot C_4^3}{C_{11}^5} = \frac{21 \cdot 4}{462} = \frac{84}{462} = \frac{2}{11} \approx 0{,}182.\]
б) Здесь \(k = 3\): три ручки синие и две красные.
\[\mathrm{P}(A_3) = \frac{C_7^3 \cdot C_4^2}{C_{11}^5} = \frac{35 \cdot 6}{462} = \frac{210}{462} = \frac{5}{11} \approx 0{,}455.\]
в) Здесь \(k = 5\): все пять ручек берутся из семи синих, а красных не берут ни одной, и \(C_4^0 = 1\). По симметричности \(C_7^5 = C_7^2 = 21\).
\[\mathrm{P}(A_5) = \frac{C_7^5 \cdot C_4^0}{C_{11}^5} = \frac{21 \cdot 1}{462} = \frac{21}{462} = \frac{1}{22} \approx 0{,}045.\]
г) Красных ручек в коробке всего 4, а забирают 5, поэтому выборки, целиком состоящей из красных ручек, не существует вовсе: числа \(C_4^5\) не бывает. Значит, хотя бы одна из пяти взятых ручек синяя при любом выборе, событие «не все красные» происходит всегда, то есть оно достоверное, и его вероятность равна 1.
Ответ: а) \(\frac{2}{11} \approx 0{,}182\); б) \(\frac{5}{11} \approx 0{,}455\); в) \(\frac{1}{22} \approx 0{,}045\); г) 1.
