Страница 129 номер 262, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(n = 4\) — число выстрелов
\(p = 0{,}6\) — вероятность попадания при одном выстреле

Найти: вероятность события «мишень будет поражена 1 или 2 раза» и вероятность события «мишень будет поражена 2 или 3 раза».

Решение:

Стрелок стреляет в одинаковых условиях, и результат каждого выстрела не зависит от остальных, поэтому опыт — серия из \(n = 4\) испытаний Бернулли. Успех — попадание, \(p = 0{,}6\); неудача — промах, \(q = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\).

По формуле Бернулли вероятность события \(A_k\) «ровно \(k\) попаданий» равна \(\mathrm{P}(A_k) = C_4^k \cdot 0{,}6^k \cdot 0{,}4^{4-k}\), а числа сочетаний стоят в строке \(n = 4\) треугольника Паскаля: \(1;\ 4;\ 6;\ 4;\ 1\). Отсюда

\[\mathrm{P}(A_1) = C_4^1 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4^3 = 4 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}064 = 0{,}1536;\] \[\mathrm{P}(A_2) = C_4^2 \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^2 = 6 \cdot 0{,}36 \cdot 0{,}16 = 0{,}3456;\] \[\mathrm{P}(A_3) = C_4^3 \cdot 0{,}6^3 \cdot 0{,}4 = 4 \cdot 0{,}216 \cdot 0{,}4 = 0{,}3456.\]

а) «Мишень будет поражена 1 или 2 раза» — это ровно одно попадание или ровно два. События \(A_1\) и \(A_2\) несовместны, поэтому вероятности складываются:

\[\mathrm{P} = 0{,}1536 + 0{,}3456 = 0{,}4992 \approx 0{,}499.\]

б) Так же складываются вероятности несовместных событий \(A_2\) и \(A_3\):

\[\mathrm{P} = 0{,}3456 + 0{,}3456 = 0{,}6912 \approx 0{,}691.\]

Вероятности ровно двух и ровно трёх попаданий здесь совпали: множители \(C_4^2 \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^2\) и \(C_4^3 \cdot 0{,}6^3 \cdot 0{,}4\) дают одно и то же число \(0{,}3456\).

Ответ: а) \(0{,}4992 \approx 0{,}499\); б) \(0{,}6912 \approx 0{,}691\).