Страница 141 номер 283, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Глава VI. Случайные величины и распределения. §28. Случайная величина и распределение вероятностей. Страница 141. Номер 283

Решение:

а) Отметки целые, от 2 до 5, поэтому сумма десяти отметок целая.

\(10 \cdot 2 = 20\) — наименьшая сумма (все отметки 2).

\(10 \cdot 5 = 50\) — наибольшая сумма (все отметки 5).

Каждое целое значение суммы от 20 до 50 достижимо: начав с десяти двоек, поднимаем отметки по одному баллу, каждый шаг увеличивает сумму ровно на 1, всего шагов \(10 \cdot 3 = 30\), и последний приводит к десяти пятёркам с суммой 50.

Средняя отметка равна сумме, делённой на 10: от \(\dfrac{20}{10} = 2\) до \(\dfrac{50}{10} = 5\), то есть величина \(X\) принимает значения \(2;\ 2{,}1;\ 2{,}2;\ \ldots;\ 4{,}9;\ 5\) с шагом \(0{,}1\).

б) \(50 - 20 + 1 = 31\) — столько целых значений у суммы, столько и значений у величины \(X\).

в) Нет. Значение \(X = 2\) даёт единственный набор отметок — все десять двоек, а значение \(X = 2{,}1\) (сумма 21) даёт десять наборов: тройку мог получить любой из десяти учащихся. Соседние значения достигаются разным числом наборов, поэтому равновероятными все значения считать нельзя.

Ответ: а) величина \(X\) принимает значения \(2;\ 2{,}1;\ 2{,}2;\ \ldots;\ 4{,}9;\ 5\) с шагом \(0{,}1\); б) 31 значение; в) нет, эти значения не равновероятны.

Решение:

а) Отметки целые, от 2 до 5, поэтому сумма десяти отметок — целое число. Наименьшая сумма получается, когда все десять отметок равны 2, и равна \(10 \cdot 2 = 20\); наибольшая — когда все отметки равны 5, и равна \(10 \cdot 5 = 50\).

Каждое целое значение суммы от 20 до 50 достижимо. Возьмём десять двоек — сумма равна 20 — и начнём поднимать отметки по одному баллу: заменим одну двойку тройкой, сумма станет 21; поднимем ещё одну отметку, сумма станет 22, и так далее. Каждый такой шаг увеличивает сумму ровно на 1, а всего шагов \(10 \cdot 3 = 30\), и последний из них приводит к десяти пятёркам с суммой 50. Значит, сумма принимает все целые значения от 20 до 50.

Средняя отметка равна сумме, делённой на 10, поэтому величина \(X\) принимает значения \(\dfrac{20}{10} = 2\), затем \(\dfrac{21}{10} = 2{,}1\), затем \(\dfrac{22}{10} = 2{,}2\) и так далее до \(\dfrac{50}{10} = 5\). Это числа \(2;\ 2{,}1;\ 2{,}2;\ \ldots;\ 4{,}9;\ 5\), идущие с шагом \(0{,}1\).

б) Значений у величины \(X\) ровно столько, сколько целых значений у суммы десяти отметок, то есть \(50 - 20 + 1 = 31\).

в) Нет. Значение \(X = 2\) получается единственным набором отметок: все десять отметок должны быть двойками. Значение \(X = 2{,}1\) отвечает сумме 21, то есть одна отметка — тройка, а остальные девять — двойки; тройку мог получить любой из десяти учащихся, и таких наборов уже десять. Одно значение достигается одним-единственным набором отметок, соседнее — десятью, поэтому равновероятными все значения считать нельзя.