Страница 129 номер 259, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Бросают 10 монет. Какое событие вероятнее — \(A\) или \(B\), если:
а) \(A\) — выпало 4 орла, \(B\) — выпало 6 орлов;
б) \(A\) — выпало 3 орла, \(B\) — выпало 4 орла?
Монеты считаем симметричными: в условии об этом прямо не сказано, но без такого допущения задача не решается. Успех «выпал орёл», \(p = 0{,}5\), \(q = 0{,}5\); монеты не влияют одна на другую, поэтому опыт — серия из \(n = 10\) испытаний Бернулли, по одному на каждую монету.
Вероятность события \(A_k\) «выпало ровно \(k\) орлов» равна
\[\mathrm{P}(A_k) = C_{10}^k \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{10-k} = C_{10}^k \cdot 0{,}5^{10} = \frac{C_{10}^k}{1024}.\]
Знаменатель у всех этих вероятностей один и тот же, поэтому сравнить их — то же самое, что сравнить числа сочетаний. Строка \(n = 10\) треугольника Паскаля: \(1;\ 10;\ 45;\ 120;\ 210;\ 252;\ 210;\ 120;\ 45;\ 10;\ 1\).
а) По симметричности чисел сочетаний \(C_{10}^4 = C_{10}^6 = 210\): выбрать 4 монеты с орлом — то же самое, что выбрать 6 остальных. Поэтому \(\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B) = \frac{210}{1024}\), и события равновероятны.
б) Здесь \(C_{10}^3 = 120 < 210 = C_{10}^4\), поэтому \(\mathrm{P}(A) = \frac{120}{1024} < \frac{210}{1024} = \mathrm{P}(B)\): вероятнее событие \(B\).
Ответ: а) события \(A\) и \(B\) равновероятны, вероятность каждого равна \(\frac{210}{1024} = \frac{105}{512}\); б) вероятнее событие \(B\) — выпадение 4 орлов.
Бросают 10 монет. Какое событие вероятнее — \(A\) или \(B\), если:
а) \(A\) — выпало 4 орла, \(B\) — выпало 6 орлов;
б) \(A\) — выпало 3 орла, \(B\) — выпало 4 орла?
Монеты считаем симметричными: в условии об этом прямо не сказано, но без такого допущения задача не решается. Значит, орёл и решка на каждой монете равновозможны, вероятность успеха «выпал орёл» равна \(p = 0{,}5\), вероятность неудачи — \(q = 0{,}5\). Монеты бросают сразу все десять, и одна монета не влияет на другую, поэтому опыт — это серия из \(n = 10\) одинаковых независимых испытаний Бернулли: каждая монета даёт одно испытание.
По формуле Бернулли вероятность события \(A_k\) «выпало ровно \(k\) орлов» равна
\[\mathrm{P}(A_k) = C_{10}^k \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{10-k} = C_{10}^k \cdot 0{,}5^{10} = \frac{C_{10}^k}{1024}.\]
Знаменатель у всех этих вероятностей один и тот же, поэтому сравнить вероятности — то же самое, что сравнить числа сочетаний. Нужные значения стоят в строке \(n = 10\) треугольника Паскаля: \(1;\ 10;\ 45;\ 120;\ 210;\ 252;\ 210;\ 120;\ 45;\ 10;\ 1\).
а) По симметричности чисел сочетаний \(C_{10}^4 = C_{10}^6 = 210\): выбрать 4 монеты, на которых выпал орёл, — то же самое, что выбрать 6 остальных. Поэтому \(\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B) = \frac{210}{1024}\), и события \(A\) и \(B\) равновероятны.
б) Здесь \(C_{10}^3 = 120\), а \(C_{10}^4 = 210\), и \(120 < 210\), поэтому \(\mathrm{P}(A) = \frac{120}{1024} < \frac{210}{1024} = \mathrm{P}(B)\). Вероятнее событие \(B\).
Ответ: а) события \(A\) и \(B\) равновероятны, вероятность каждого равна \(\frac{210}{1024} = \frac{105}{512}\); б) вероятнее событие \(B\) — выпадение 4 орлов.
