Страница 134 номер 277, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Всего в ящике 20 носков — 8 одинаковых серых и 12 одинаковых синих. Миша достаёт из ящика наугад 4 носка. Какова вероятность того, что он сможет разобрать их все на пары?
Дано:
носков в ящике — 20
серых — 8
синих — 12
Миша достаёт наугад 4 носка
Найти: вероятность того, что все четыре носка можно разобрать на пары.
Решение:
Носки различаются только цветом: все серые носки одинаковы, и все синие тоже, поэтому любые два носка одного цвета уже составляют пару.
Разобрать четыре носка на две пары удаётся ровно тогда, когда серых среди них чётное число: 0, 2 или 4 (тогда синих соответственно 4, 2 или 0). Если серых 1 или 3, то один серый и один синий носок остаются без пары.
Носки достают наугад, поэтому все четвёрки равновозможны. Совокупность — \(N = 20\) носков, успех — серый носок: \(K = 8\), неудачных (синих) \(N - K = 12\); объём выборки \(n = 4\), число серых носков среди вынутых обозначим \(k\).
\[\mathrm{P}(A_k) = \frac{C_8^k \cdot C_{12}^{4-k}}{C_{20}^4}.\]
Число всех выборок равно
\[C_{20}^4 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 4845.\]
Числа подходящих выборок в трёх случаях:
\(C_8^0 \cdot C_{12}^4 = 1 \cdot 495 = 495\) — все четыре носка синие;
\(C_8^2 \cdot C_{12}^2 = 28 \cdot 66 = 1848\) — два носка серых и два синих;
\(C_8^4 \cdot C_{12}^0 = 70 \cdot 1 = 70\) — все четыре носка серые.
События \(A_0\), \(A_2\) и \(A_4\) несовместны, поэтому вероятности складываются:
\[\mathrm{P}(A_0) + \mathrm{P}(A_2) + \mathrm{P}(A_4) = \frac{495 + 1848 + 70}{4845} = \frac{2413}{4845} = \frac{127}{255} \approx 0{,}498.\]
Дробь сокращена на 19. Вероятность чуть меньше половины: половина от 4845 — это \(2422{,}5\), а подходящих выборок 2413.
Ответ: \(\frac{127}{255} \approx 0{,}498\).
Всего в ящике 20 носков — 8 одинаковых серых и 12 одинаковых синих. Миша достаёт из ящика наугад 4 носка. Какова вероятность того, что он сможет разобрать их все на пары?
Дано:
носков в ящике — 20
серых — 8
синих — 12
Миша достаёт наугад 4 носка
Найти: вероятность того, что все четыре носка можно разобрать на пары.
Решение:
Носки различаются только цветом: все восемь серых носков одинаковы, и все двенадцать синих тоже одинаковы. Поэтому любые два носка одного цвета уже составляют пару.
Разобрать все четыре носка на пары — значит составить из них две пары. Это удаётся ровно тогда, когда серых носков среди четырёх чётное число: 0, 2 или 4 (тогда и синих соответственно 4, 2 или 0). Если же серых носков 1 или 3, то один серый и один синий носок остаются без пары.
Носки достают наугад, поэтому все четвёрки носков равновозможны. Совокупность — \(N = 20\) носков. Успехом считаем серый носок: успешных элементов \(K = 8\), неудачных (синих) \(N - K = 12\). Объём выборки \(n = 4\), а число серых носков среди вынутых обозначим \(k\). Вероятность события \(A_k\) «среди четырёх носков ровно \(k\) серых» равна
\[\mathrm{P}(A_k) = \frac{C_8^k \cdot C_{12}^{4-k}}{C_{20}^4}.\]
Контроль по сумме индексов: сверху \(k + (4 - k) = 4\), снизу \(8 + 12 = 20\) — формула составлена верно.
Число всех выборок равно
\[C_{20}^4 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 4845.\]
Считаем числа подходящих выборок в трёх случаях:
\(C_8^0 \cdot C_{12}^4 = 1 \cdot 495 = 495\) — все четыре носка синие;
\(C_8^2 \cdot C_{12}^2 = 28 \cdot 66 = 1848\) — два носка серых и два синих;
\(C_8^4 \cdot C_{12}^0 = 70 \cdot 1 = 70\) — все четыре носка серые.
События \(A_0\), \(A_2\) и \(A_4\) несовместны, поэтому вероятности складываются:
\[\mathrm{P}(A_0) + \mathrm{P}(A_2) + \mathrm{P}(A_4) = \frac{495 + 1848 + 70}{4845} = \frac{2413}{4845} = \frac{127}{255} \approx 0{,}498.\]
Дробь сокращена на 19. Вероятность чуть меньше половины: половина от 4845 — это \(2422{,}5\), а подходящих выборок 2413.
Ответ: \(\frac{127}{255} \approx 0{,}498\).
