Страница 133 номер 269, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Симметричную монету бросили 12 раз. Известно, что орёл выпал 5 раз. Найдите вероятность того, что среди первых 6 бросаний выпало ровно: а) 2 орла; б) 2 решки; в) 3 орла; г) 3 решки.
Орлов ровно 5, поэтому вопрос в том, как они распределились по двенадцати бросаниям. Монета симметрична, ни одно бросание ничем не выделено, поэтому все расположения пяти орлов по двенадцати местам равновозможны.
Совокупность — \(N = 12\) мест (номеров бросаний), успех — место с орлом: \(K = 5\), неудачных (с решкой) \(N - K = 7\). Выборка — первые \(n = 6\) бросаний: орлы расположились по местам случайно, поэтому первую шестёрку мест можно считать случайной выборкой объёмом 6 из двенадцати; число орлов в ней обозначим \(k\).
\[\mathrm{P}(A_k) = \frac{C_5^k \cdot C_7^{6-k}}{C_{12}^6}.\]
Знаменатель у всех пунктов один и тот же:
\[C_{12}^6 = \frac{12!}{6! \cdot 6!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} = 924.\]
а) Здесь \(k = 2\): два места с орлом из пяти и четыре места с решкой из семи.
\[\mathrm{P}(A_2) = \frac{C_5^2 \cdot C_7^4}{C_{12}^6} = \frac{10 \cdot 35}{924} = \frac{350}{924} = \frac{25}{66} \approx 0{,}379.\]
б) Ровно 2 решки среди шести бросаний значит ровно 4 орла, то есть \(k = 4\).
\[\mathrm{P}(A_4) = \frac{C_5^4 \cdot C_7^2}{C_{12}^6} = \frac{5 \cdot 21}{924} = \frac{105}{924} = \frac{5}{44} \approx 0{,}114.\]
в) Здесь \(k = 3\).
\[\mathrm{P}(A_3) = \frac{C_5^3 \cdot C_7^3}{C_{12}^6} = \frac{10 \cdot 35}{924} = \frac{350}{924} = \frac{25}{66} \approx 0{,}379.\]
Число совпало с ответом пункта а), хотя события «ровно 2 орла» и «ровно 3 орла» вместе произойти не могут: совпадение здесь числовое — равны произведения чисел сочетаний \(C_5^2 \cdot C_7^4 = 10 \cdot 35 = 350\) и \(C_5^3 \cdot C_7^3 = 10 \cdot 35 = 350\).
г) Ровно 3 решки среди шести бросаний значит ровно 3 орла, а это то же самое событие, что и в пункте в), поэтому и вероятность у него та же: \(\frac{25}{66} \approx 0{,}379\).
Ответ: а) \(\frac{25}{66} \approx 0{,}379\); б) \(\frac{5}{44} \approx 0{,}114\); в) \(\frac{25}{66} \approx 0{,}379\); г) \(\frac{25}{66} \approx 0{,}379\).
Симметричную монету бросили 12 раз. Известно, что орёл выпал 5 раз. Найдите вероятность того, что среди первых 6 бросаний выпало ровно: а) 2 орла; б) 2 решки; в) 3 орла; г) 3 решки.
Число орлов известно заранее — их ровно 5, поэтому вопрос не в том, сколько орлов выпадет, а в том, как эти пять орлов распределились по двенадцати бросаниям. Монета симметрична, и ни одно бросание ничем не выделено среди остальных, поэтому все расположения пяти орлов по двенадцати местам равновозможны.
Совокупность — \(N = 12\) мест (номеров бросаний). Успешные элементы — \(K = 5\) мест, на которых выпал орёл; неудачные — \(N - K = 7\) мест с решкой. Выборка — первые \(n = 6\) бросаний: раз орлы расположились по местам случайно, вероятность найти среди шести мест ровно \(k\) орлов не зависит от того, какие именно шесть мест взяты, и первую шестёрку мест можно считать случайной выборкой объёмом 6 из двенадцати.
Вероятность события \(A_k\) «среди первых шести бросаний ровно \(k\) орлов» равна
\[\mathrm{P}(A_k) = \frac{C_5^k \cdot C_7^{6-k}}{C_{12}^6}.\]
Контроль по сумме индексов: сверху \(k + (6 - k) = 6\), снизу \(5 + 7 = 12\) — формула составлена верно.
Знаменатель у всех пунктов один и тот же:
\[C_{12}^6 = \frac{12!}{6! \cdot 6!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} = 924.\]
а) Здесь \(k = 2\): два места с орлом из пяти и четыре места с решкой из семи.
\[\mathrm{P}(A_2) = \frac{C_5^2 \cdot C_7^4}{C_{12}^6} = \frac{10 \cdot 35}{924} = \frac{350}{924} = \frac{25}{66} \approx 0{,}379.\]
б) Ровно 2 решки среди шести бросаний значит ровно 4 орла, то есть \(k = 4\).
\[\mathrm{P}(A_4) = \frac{C_5^4 \cdot C_7^2}{C_{12}^6} = \frac{5 \cdot 21}{924} = \frac{105}{924} = \frac{5}{44} \approx 0{,}114.\]
в) Здесь \(k = 3\).
\[\mathrm{P}(A_3) = \frac{C_5^3 \cdot C_7^3}{C_{12}^6} = \frac{10 \cdot 35}{924} = \frac{350}{924} = \frac{25}{66} \approx 0{,}379.\]
Полученное число совпало с ответом пункта а), хотя события в этих пунктах разные: «ровно 2 орла» и «ровно 3 орла» вместе произойти не могут. Совпадение здесь числовое — равны произведения чисел сочетаний: \(C_5^2 \cdot C_7^4 = 10 \cdot 35 = 350\) и \(C_5^3 \cdot C_7^3 = 10 \cdot 35 = 350\).
г) Ровно 3 решки среди шести бросаний значит ровно 3 орла, а это то же самое событие, что и в пункте в). Значит, и вероятность у него та же: \(\frac{25}{66} \approx 0{,}379\).
Ответ: а) \(\frac{25}{66} \approx 0{,}379\); б) \(\frac{5}{44} \approx 0{,}114\); в) \(\frac{25}{66} \approx 0{,}379\); г) \(\frac{25}{66} \approx 0{,}379\).
