Страница 128 номер 255, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Сколько элементарных событий в серии из 10 испытаний Бернулли благоприятствует:
а) 1 успеху;
б) 3 успехам;
в) 8 успехам;
г) 10 успехам?
Ровно \(k\) успехам благоприятствуют бинарные последовательности длины 10 ровно с \(k\) единицами, а их \(C_{10}^k\). Строка \(n = 10\) треугольника Паскаля: \(1;\ 10;\ 45;\ 120;\ 210;\ 252;\ 210;\ 120;\ 45;\ 10;\ 1\).
а) \(C_{10}^1 = 10\) — столько последовательностей ровно с одной единицей: место для неё выбирается десятью способами.
б) \(C_{10}^3 = 120\) — столько последовательностей ровно с тремя единицами.
в) \(C_{10}^8 = C_{10}^2 = 45\): выбрать 8 мест для единиц — то же самое, что выбрать 2 оставшихся места для нулей.
г) \(C_{10}^{10} = 1\) — все десять испытаний успешны, и такая последовательность одна: 1111111111.
Ответ: а) 10 элементарных событий; б) 120 элементарных событий; в) 45 элементарных событий; г) 1 элементарное событие.
Сколько элементарных событий в серии из 10 испытаний Бернулли благоприятствует:
а) 1 успеху;
б) 3 успехам;
в) 8 успехам;
г) 10 успехам?
Элементарное событие серии из 10 испытаний — бинарная последовательность длины 10, в которой единица означает успех, а нуль — неудачу. Ровно \(k\) успехам благоприятствуют те последовательности, в которых ровно \(k\) единиц, и по теореме о бинарных последовательностях их число равно \(C_{10}^k\). Нужные значения стоят в строке \(n = 10\) треугольника Паскаля: \(1;\ 10;\ 45;\ 120;\ 210;\ 252;\ 210;\ 120;\ 45;\ 10;\ 1\).
а) \(C_{10}^1 = 10\) — столько последовательностей ровно с одной единицей: единица стоит на одном из десяти мест, и место это выбирается десятью способами.
б) \(C_{10}^3 = 120\) — столько последовательностей ровно с тремя единицами.
в) \(C_{10}^8 = C_{10}^2 = 45\) — здесь удобна симметричность чисел сочетаний: выбрать 8 мест для единиц — то же самое, что выбрать 2 оставшихся места для нулей.
г) \(C_{10}^{10} = 1\) — все десять испытаний успешны, и такая последовательность одна: 1111111111.
Ответ: а) 10 элементарных событий; б) 120 элементарных событий; в) 45 элементарных событий; г) 1 элементарное событие.
