Страница 129 номер 257, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Сколько элементарных событий благоприятствует 3 успехам, если всего в серии:
а) 4 испытания; б) 6 испытаний; в) 9 испытаний; г) \(n\) испытаний?
Трём успехам в серии из \(n\) испытаний благоприятствуют бинарные последовательности длины \(n\) ровно с тремя единицами, а их \(C_n^3\).
а) \(C_4^3 = 4\) — столько последовательностей длины 4 ровно с тремя единицами.
б) \(C_6^3 = 20\).
в) \(C_9^3 = 84\).
г) В общем случае в дроби сокращается \((n - 3)!\):
\[C_n^3 = \frac{n!}{3!\,(n - 3)!} = \frac{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)!}{6\,(n - 3)!} = \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}.\]
Счёт имеет смысл при \(n \geqslant 3\): в более короткой серии трёх успехов быть не может.
Проверка: выражение даёт \(\frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{6} = 4\) при \(n = 4\), \(\frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20\) при \(n = 6\) и \(\frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84\) при \(n = 9\).
Ответ: а) 4 элементарных события; б) 20 элементарных событий; в) 84 элементарных события; г) \(\frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}\) элементарных событий при \(n \geqslant 3\).
Сколько элементарных событий благоприятствует 3 успехам, если всего в серии:
а) 4 испытания; б) 6 испытаний; в) 9 испытаний; г) \(n\) испытаний?
Трём успехам в серии из \(n\) испытаний благоприятствуют бинарные последовательности длины \(n\) ровно с тремя единицами, а их по теореме о бинарных последовательностях \(C_n^3\).
а) \(C_4^3 = 4\) — столько последовательностей длины 4 ровно с тремя единицами.
б) \(C_6^3 = 20\) — столько последовательностей длины 6 ровно с тремя единицами.
в) \(C_9^3 = 84\) — столько последовательностей длины 9 ровно с тремя единицами.
г) В общем случае число сочетаний выражается через факториалы, и в дроби сокращается \((n - 3)!\):
\[C_n^3 = \frac{n!}{3!\,(n - 3)!} = \frac{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)!}{6\,(n - 3)!} = \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}.\]
Счёт имеет смысл при \(n \geqslant 3\): в более короткой серии трёх успехов быть не может.
Проверка: при \(n = 4\) полученное выражение даёт \(\frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{6} = 4\), при \(n = 6\) — \(\frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20\), при \(n = 9\) — \(\frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84\): те же числа, что в пунктах а)—в).
Ответ: а) 4 элементарных события; б) 20 элементарных событий; в) 84 элементарных события; г) \(\frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}\) элементарных событий при \(n \geqslant 3\).
