Страница 123 номер 247, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(p = 0{,}7\) — вероятность попадания при одном броске
броски повторяются до первого попадания

Найти: вероятность того, что потребуется а) ровно 2 попытки; б) от 2 до 4 попыток.

Решение:

Каждый бросок мяча — испытание Бернулли: мяч либо попадает в кольцо, либо не попадает. Успехом считаем попадание, тогда \(p = 0{,}7\), а \(q = 1 - p = 0{,}3\) — вероятность промаха при одном броске. Броски выполняются в одних и тех же условиях и не влияют друг на друга, поэтому испытания одинаковы и независимы, а после первого попадания броски прекращаются.

Неудачу обозначим символом 0, попадание — символом 1; элементарное событие опыта — бинарная последовательность 1, 01, 001, 0001 и так далее.

а) Событию \(A\) «потребуется ровно 2 попытки» благоприятствует единственное элементарное событие 01 — промах, затем попадание:

\[\mathrm{P}(A) = qp = 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}21.\]

б) Событию \(A\) «потребуется от 2 до 4 попыток» благоприятствуют элементарные события 01, 001 и 0001:

\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(A) = qp + q^2 p + q^3 p = qp\left(1 + q + q^2\right) = {} \\ &= 0{,}21 \cdot (1 + 0{,}3 + 0{,}09) = 0{,}21 \cdot 1{,}39 = 0{,}2919 \approx 0{,}292. \end{aligned}\]

Ответ: а) \(0{,}21\); б) \(0{,}2919 \approx 0{,}292\).