Страница 134 номер 279, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
докладов всего — 20
в первый день — 4
во второй день — 8
в третий день — 8
российских докладов — 6
Найти: вероятность того, что каждый день конференции будут представлены ровно 2 российских доклада.
Решение:
Порядок докладов определяет жеребьёвка, поэтому все наборы равновозможны. Считаем по дням: жребий выделяет четвёрку первого дня, затем из оставшихся — восьмёрку второго, а третьему дню достаётся остальное. События: \(A\) «в первый день ровно 2 российских доклада», \(B\) «во второй день ровно 2 российских доклада»; нужны ровно два доклада каждый день, а не «хотя бы два».
Первый день. Совокупность — \(N = 20\) докладов, успех — российский доклад: \(K = 6\), неудачных \(N - K = 14\); выборка — \(n = 4\) доклада первого дня, нужное число успехов \(k = 2\).
\[\mathrm{P}(A) = \frac{C_6^2 \cdot C_{14}^2}{C_{20}^4} = \frac{15 \cdot 91}{4845} = \frac{1365}{4845} = \frac{91}{323}.\]
Второй день. Если первый день прошёл как требуется, осталось \(20 - 4 = 16\) докладов, среди них \(6 - 2 = 4\) российских, и восьмёрку второго дня выбирают уже из них: \(N = 16\), \(K = 4\), неудачных \(N - K = 12\), \(n = 8\), \(k = 2\). Здесь \(C_{16}^8 = 12\,870\), а \(C_{12}^6 = 924\) — число из двенадцатой строки треугольника Паскаля.
\[\mathrm{P}(B \mid A) = \frac{C_4^2 \cdot C_{12}^6}{C_{16}^8} = \frac{6 \cdot 924}{12\,870} = \frac{5544}{12\,870} = \frac{28}{65}.\]
Третий день. После первых двух дней остаётся ровно \(16 - 8 = 8\) докладов, среди них ровно \(4 - 2 = 2\) российских. Значит, третий день выполняет нужное условие сам собой: вероятность того, что в нём окажутся 2 российских доклада, равна 1, и отдельного множителя для третьего дня не появляется.
Жеребьёвка второго дня идёт при уже состоявшейся жеребьёвке первого, поэтому вероятность события \(B\) бралась условной, а вероятность обоих событий равна произведению:
\[\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B \mid A) = \frac{91}{323} \cdot \frac{28}{65} = \frac{7 \cdot 28}{323 \cdot 5} = \frac{196}{1615} \approx 0{,}121.\]
Числа 91 и 65 сокращены на 13.
Ответ: \(\frac{196}{1615} \approx 0{,}121\).
Дано:
докладов всего — 20
в первый день — 4
во второй день — 8
в третий день — 8
российских докладов — 6
Найти: вероятность того, что каждый день конференции будут представлены ровно 2 российских доклада.
Решение:
Порядок докладов определяет жеребьёвка, поэтому в каждый день попадают случайные доклады и все наборы равновозможны. Считать будем по дням: сначала жребий выделяет четвёрку первого дня, затем из оставшихся докладов — восьмёрку второго, а третьему дню достаётся всё, что осталось.
Обозначим события: \(A\) «в первый день ровно 2 российских доклада», \(B\) «во второй день ровно 2 российских доклада». Нужны ровно два доклада каждый день, а не «хотя бы два».
Первый день. Совокупность — \(N = 20\) докладов, успех — доклад российских учёных: \(K = 6\), неудачных \(N - K = 14\). Выборка — \(n = 4\) доклада первого дня, нужное число успехов \(k = 2\).
\[\mathrm{P}(A) = \frac{C_6^2 \cdot C_{14}^2}{C_{20}^4} = \frac{15 \cdot 91}{4845} = \frac{1365}{4845} = \frac{91}{323}.\]
Контроль по сумме индексов: сверху \(2 + 2 = 4\), снизу \(6 + 14 = 20\) — формула составлена верно.
Второй день. Если первый день прошёл так, как требуется, то нераспределёнными остались \(20 - 4 = 16\) докладов, и среди них \(6 - 2 = 4\) российских. Восьмёрку второго дня выбирают уже из этих шестнадцати: \(N = 16\), \(K = 4\), неудачных \(N - K = 12\), объём выборки \(n = 8\), нужное число успехов \(k = 2\). Здесь \(C_{16}^8 = 12\,870\), а число \(C_{12}^6 = 924\) стоит в двенадцатой строке треугольника Паскаля.
\[\mathrm{P}(B \mid A) = \frac{C_4^2 \cdot C_{12}^6}{C_{16}^8} = \frac{6 \cdot 924}{12\,870} = \frac{5544}{12\,870} = \frac{28}{65}.\]
Третий день. После первых двух дней остаётся ровно \(16 - 8 = 8\) докладов, и среди них ровно \(4 - 2 = 2\) российских. Значит, третий день выполняет нужное условие сам собой: вероятность того, что в нём окажутся 2 российских доклада, равна 1, и на произведение она не влияет — отдельного множителя для третьего дня не появляется.
Жеребьёвка второго дня проводится при уже состоявшейся жеребьёвке первого, поэтому вероятность события \(B\) бралась условной, а вероятность наступления обоих событий равна произведению:
\[\mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B \mid A) = \frac{91}{323} \cdot \frac{28}{65} = \frac{7 \cdot 28}{323 \cdot 5} = \frac{196}{1615} \approx 0{,}121.\]
Числа 91 и 65 сокращены на 13.
Ответ: \(\frac{196}{1615} \approx 0{,}121\).
