Вопросы после параграфа §28 на странице 140, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Если каждому элементарному событию случайного опыта поставлено в соответствие некоторое число, то говорят, что задана случайная величина. Другими словами, случайная величина — это числовая функция, определённая на множестве элементарных событий случайного опыта.

Например, симметричную монету бросают два раза. Опыт заканчивается одним из четырёх элементарных событий РР, РО, ОР, ОО, и каждому из них величина \(X\) «число выпавших орлов» ставит в соответствие число: событию РР — число 0, событию РО — число 1, событию ОР — число 1, событию ОО — число 2. Значит, \(X\) — случайная величина.

Постоянную величину тоже можно считать случайной величиной, которая принимает единственное значение.

Ответ: случайная величина — это числовая функция на множестве элементарных событий случайного опыта, то есть соответствие, при котором каждому элементарному событию сопоставлено некоторое число.

Соответствие между значениями случайной величины и их вероятностями называется распределением вероятностей случайной величины. Сумма вероятностей всех значений равна 1, поскольку она совпадает с суммой вероятностей всех элементарных событий опыта.

Распределение дискретной случайной величины задают тремя способами.

Таблицей: в верхней строке выписывают значения, в нижней — их вероятности, \[X \sim \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & \ldots & x_n & \ldots \\ p_1 & p_2 & p_3 & \ldots & p_n & \ldots \end{pmatrix}.\]

Формулой: указывают правило, по которому вероятность вычисляется по самому значению. Так, при двукратном бросании правильного кубика для суммы выпавших очков \(X\) это правило записывается как \(\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{1}{6} - \dfrac{|k - 7|}{36}\), где \(k = 2,\ 3,\ \ldots,\ 12\).

Диаграммой: значения отмечают на горизонтальной оси, их вероятности — на вертикальной, и над каждым значением ставят столбик соответствующей высоты.

Ответ: распределение вероятностей случайной величины — это соответствие между её значениями и их вероятностями; распределение дискретной случайной величины задают таблицей, формулой или диаграммой.

Бинарной называют случайную величину, которая принимает всего два значения: 0 и 1. Значение 1 считают успехом, значение 0 — неудачей. Если вероятность успеха равна \(p\), а вероятность неудачи равна \(q = 1 - p\), то распределение бинарной величины \(I\) имеет вид \[I \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}.\]

Распределение бинарной случайной величины называют распределением Бернулли и обозначают \(B(p)\), где параметр \(p\) — вероятность значения 1.

Ответ: бинарная случайная величина принимает только два значения — 0 (неудача) и 1 (успех); её распределение называют распределением Бернулли и обозначают \(B(p)\), где параметр \(p\) — вероятность значения 1.

При одном броске у опыта два элементарных события — выпал орёл и выпала решка. Монета симметричная, поэтому они равновозможны, и вероятность каждого равна \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\). Значит, вероятность события \(A\) «выпал орёл» равна \(\mathrm{P}(A) = 0{,}5\).

Индикатор \(I_A\) принимает значение 1, если выпал орёл, и значение 0, если выпала решка. Под единицей в таблице стоит вероятность события \(A\), под нулём — вероятность противоположного события, то есть \(1 - 0{,}5 = 0{,}5\).

\[I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}.\]

Ответ: \(I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}\).

Индикатор события \(A\) — это бинарная случайная величина \(I_A\), связанная с событием так: если в опыте наступило событие \(A\), то \(I_A = 1\), а если случилось противоположное событие \(\overline{A}\), то \(I_A = 0\). Такая величина указывает на то, произошло событие или нет, — отсюда и её название.

Вероятность значения 1 равна \(\mathrm{P}(A)\), а вероятность значения 0 равна \(1 - \mathrm{P}(A)\), поэтому распределение индикатора таково: \[I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - \mathrm{P}(A) & \mathrm{P}(A) \end{pmatrix}.\]

Например, бросают правильный игральный кубик; все шесть исходов равновозможны. Событию \(A\) «выпало больше четырёх очков» благоприятствуют два исхода из шести, поэтому \(\mathrm{P}(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\), и индикатор этого события имеет распределение \(I_A \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}\).

Ответ: индикатор события \(A\) — это бинарная случайная величина \(I_A\), которая равна 1, если событие \(A\) наступило, и равна 0, если наступило противоположное событие \(\overline{A}\).