Страница 123 номер 245, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Кубик правильный, все шесть граней выпадают равновозможно. Успеху «выпало 1 или 3» благоприятствуют две грани из шести, значит, \(p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\), а \(q = 1 - p = \dfrac{2}{3}\).
Броски независимы и одинаковы, после первого успеха бросания прекращаются; неудача — символ 0, успех — символ 1, и вероятность цепочки из \(k - 1\) неудач и успеха в \(k\)-м броске равна \(q^{\,k-1}p\).
Горизонтальные рёбра с подписью \(\frac{2}{3}\) отвечают неудачам и ведут опыт дальше, наклонные рёбра с подписью \(\frac{1}{3}\) — успеху и обрываются концевой вершиной; под каждой концевой вершиной записано её элементарное событие, а пунктирное продолжение означает, что дерево бесконечно.
а) Событию \(A\) благоприятствует единственная цепь 01:
\[\mathrm{P}(A) = qp = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \approx 0{,}222.\]
б) Событию \(A\) благоприятствуют цепи 001 и 0001:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(A) = q^2 p + q^3 p = {} \\ &= \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} + \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27} + \frac{8}{81} = \frac{20}{81} \approx 0{,}247. \end{aligned}\]
в) Событию \(A\) благоприятствуют цепи 1 и 01:
\[\mathrm{P}(A) = p + qp = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9} \approx 0{,}556.\]
г) Событие \(A\) наступает тогда и только тогда, когда первые три броска неудачны, а по правилу умножения
\[\mathrm{P}(A) = q^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \approx 0{,}296.\]
Ответ: а) \(\dfrac{2}{9} \approx 0{,}222\); б) \(\dfrac{20}{81} \approx 0{,}247\); в) \(\dfrac{5}{9} \approx 0{,}556\); г) \(\dfrac{8}{27} \approx 0{,}296\).
Кубик правильный, поэтому все шесть его граней выпадают равновозможно. Успех в одном броске — событие «выпало 1 или 3»: ему благоприятствуют две грани из шести, значит, \(p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\), а вероятность неудачи \(q = 1 - p = \dfrac{2}{3}\).
Броски не влияют друг на друга, и кубик от броска к броску не меняется, поэтому испытания независимы и одинаковы, а после первого успеха бросания прекращаются. Неудачу обозначим символом 0, успех — символом 1; тогда элементарное событие опыта — бинарная последовательность 1, 01, 001, 0001 и так далее, а вероятность цепочки из \(k - 1\) неудач и успеха в \(k\)-м броске равна \(q^{\,k-1}p\).
Построим дерево этого опыта.
Горизонтальные рёбра с подписью \(\frac{2}{3}\) отвечают неудачам и ведут опыт дальше, наклонные рёбра с подписью \(\frac{1}{3}\) — успеху и обрываются концевой вершиной; под каждой концевой вершиной записано её элементарное событие. Пунктирное продолжение показывает, что дерево бесконечно: бросков может понадобиться сколь угодно много.
а) Событию \(A\) «потребуется ровно 2 броска» благоприятствует единственная цепь 01 — неудача в первом броске и успех во втором:
\[\mathrm{P}(A) = qp = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \approx 0{,}222.\]
б) Событию \(A\) «потребуется 3 или 4 броска» благоприятствуют цепи 001 и 0001:
\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(A) = q^2 p + q^3 p = {} \\ &= \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} + \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27} + \frac{8}{81} = \frac{20}{81} \approx 0{,}247. \end{aligned}\]
в) Событию \(A\) «потребуется не более 2 бросков» благоприятствуют цепи 1 и 01:
\[\mathrm{P}(A) = p + qp = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9} \approx 0{,}556.\]
г) Событию \(A\) «потребуется более 3 бросков» благоприятствует бесконечно много цепей — все, которые начинаются с трёх нулей; на чертеже им отвечает пунктирное продолжение. Само же событие \(A\) наступает тогда и только тогда, когда первые три броска неудачны, а вероятность трёх неудач подряд по правилу умножения равна
\[\mathrm{P}(A) = q^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \approx 0{,}296.\]
Ответ: а) \(\dfrac{2}{9} \approx 0{,}222\); б) \(\dfrac{20}{81} \approx 0{,}247\); в) \(\dfrac{5}{9} \approx 0{,}556\); г) \(\dfrac{8}{27} \approx 0{,}296\).
