Вопросы после параграфа §26 на странице 128, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Серия испытаний Бернулли — случайный опыт из \(n\) одинаковых и независимых испытаний, каждое из которых кончается одним из двух элементарных событий: успехом с вероятностью \(p\) или неудачей с вероятностью \(q = 1 - p\).
Число испытаний задано заранее: их проводят все \(n\), чем бы ни кончилось предыдущее.
Например, 10 бросаний симметричной монеты — серия из \(n = 10\) испытаний Бернулли с \(p = 0{,}5\) и \(q = 0{,}5\).
Ответ: серия испытаний Бернулли — это случайный опыт из \(n\) одинаковых и независимых испытаний, в каждом из которых успех наступает с одной и той же вероятностью \(p\), а неудача — с вероятностью \(q = 1 - p\), причём число испытаний задано заранее.
Элементарное событие серии — не отдельный успех и не отдельная неудача, а вся последовательность успехов и неудач за \(n\) испытаний; записывают её бинарной последовательностью длины \(n\): успех — 1, неудача — 0.
Например, в серии из трёх испытаний элементарных событий восемь: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 и 111.
Всего в серии из \(n\) испытаний элементарных событий \(2^n\): на каждом из \(n\) мест стоит либо 0, либо 1. Уже при \(n = 10\) их \(2^{10} = 1024\).
Ответ: элементарное событие — последовательность успехов и неудач за все \(n\) испытаний, то есть бинарная последовательность длины \(n\) из символов 1 (успех) и 0 (неудача); всего таких событий \(2^n\).
Теорема: если в серии из \(n\) испытаний Бернулли вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна \(p\), а вероятность неудачи равна \(q = 1 - p\), то вероятность события \(A_k\) «наступит ровно \(k\) успехов» равна
\[\mathrm{P}(A_k) = C_n^k p^k q^{\,n-k}.\]
Это формула Бернулли: число \(k\) принимает значения от 0 до \(n\), множитель \(p^k q^{\,n-k}\) — вероятность одной бинарной последовательности с \(k\) единицами и \(n - k\) нулями, а \(C_n^k\) — количество таких последовательностей.
Ответ: если в серии из \(n\) испытаний Бернулли вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна \(p\), а вероятность неудачи равна \(q = 1 - p\), то вероятность события \(A_k\) «наступит ровно \(k\) успехов» равна \(C_n^k p^k q^{\,n-k}\).
Сам по себе бросок кубика испытанием Бернулли не является: у него шесть элементарных событий, а у испытания Бернулли их ровно два.
Но если заранее назвать успехом одно событие, а неудачей — противоположное ему (скажем, успех «выпало шесть очков», \(p = \frac{1}{6}\), и неудача «выпало меньше шести очков», \(q = \frac{5}{6}\)), то испытания станут одинаковыми и независимыми: кубик один и тот же, а результат броска не зависит от того, что выпало раньше. Бросков ровно 10, и делают их все.
Значит, при таком уговоре 10 бросков — серия из \(n = 10\) испытаний Бернулли; если же различать все шесть исходов броска, серии не получается.
Ответ: да, если заранее выбрать, какой исход броска считать успехом, а все остальные — неудачей: тогда 10 бросков дают серию из 10 одинаковых независимых испытаний Бернулли; пока такой выбор не сделан, каждый бросок имеет шесть исходов и испытанием Бернулли не является.
Серией испытаний Бернулли называется случайный опыт, состоящий из \(n\) одинаковых и независимых испытаний.
Каждое отдельное испытание кончается одним из двух элементарных событий: одно из них условно называют успехом, другое — неудачей. Вероятность успеха \(p\) и вероятность неудачи \(q = 1 - p\) в каждом испытании одни и те же — этим испытания и одинаковы, а исход очередного испытания не зависит от того, чем кончились предыдущие, — этим они независимы. Число испытаний задано заранее: их проводят все \(n\) штук независимо от того, успехом или неудачей окончилось предыдущее.
Например, 10 бросаний симметричной монеты — серия из \(n = 10\) испытаний Бернулли: успех «выпал орёл» имеет вероятность \(p = 0{,}5\), неудача — вероятность \(q = 0{,}5\), броски не влияют друг на друга, и монету бросают ровно 10 раз.
Ответ: серия испытаний Бернулли — это случайный опыт из \(n\) одинаковых и независимых испытаний, в каждом из которых успех наступает с одной и той же вероятностью \(p\), а неудача — с вероятностью \(q = 1 - p\), причём число испытаний задано заранее.
Элементарное событие серии — не отдельный успех и не отдельная неудача, а вся последовательность успехов и неудач, полученная за \(n\) испытаний. Записывают её бинарной последовательностью длины \(n\): успех — символ 1, неудача — символ 0.
Например, в серии из трёх испытаний элементарных событий восемь: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 и 111. Запись 011 значит, что первое испытание кончилось неудачей, а два следующих — успехом; вероятность этого элементарного события даёт правило умножения: \(\mathrm{P}(011) = qpp = qp^2\).
Всего в серии из \(n\) испытаний элементарных событий \(2^n\): на каждом из \(n\) мест последовательности стоит либо 0, либо 1. Уже при \(n = 10\) их \(2^{10} = 1024\).
Ответ: элементарное событие — последовательность успехов и неудач за все \(n\) испытаний, то есть бинарная последовательность длины \(n\) из символов 1 (успех) и 0 (неудача); всего таких событий \(2^n\).
Теорема: пусть дана серия из \(n\) испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) и вероятностью неудачи \(q = 1 - p\) в каждом отдельном испытании; тогда вероятность события \(A_k\) «наступит ровно \(k\) успехов» равна
\[\mathrm{P}(A_k) = C_n^k p^k q^{\,n-k}.\]
Эту формулу называют формулой Бернулли. Число \(k\) в ней принимает значения от 0 до \(n\), множитель \(p^k q^{\,n-k}\) — это вероятность одной бинарной последовательности с \(k\) единицами и \(n - k\) нулями, а число сочетаний \(C_n^k\) — количество таких последовательностей.
Например, симметричную монету бросают 4 раза, успех — «выпал орёл», \(p = q = 0{,}5\). Вероятность ровно двух орлов равна \(\mathrm{P}(A_2) = C_4^2 \cdot 0{,}5^2 \cdot 0{,}5^2 = 6 \cdot 0{,}0625 = 0{,}375\).
Ответ: если в серии из \(n\) испытаний Бернулли вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна \(p\), а вероятность неудачи равна \(q = 1 - p\), то вероятность события \(A_k\) «наступит ровно \(k\) успехов» равна \(C_n^k p^k q^{\,n-k}\).
Сам по себе один бросок игрального кубика испытанием Бернулли не является: у него шесть элементарных событий — выпало 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков, — а у испытания Бернулли их ровно два.
Но испытание Бернулли получится, если заранее назвать успехом какое-нибудь одно событие, а неудачей — противоположное ему. Пусть, скажем, успех — «выпало шесть очков»; тогда \(p = \frac{1}{6}\), неудача — «выпало меньше шести очков», \(q = \frac{5}{6}\). Кубик один и тот же, поэтому вероятность успеха во всех бросках одна и та же, а результат броска не зависит от того, что выпало раньше: испытания одинаковы и независимы. Бросков ровно 10, и делают их все, чем бы ни кончился предыдущий.
Значит, при таком уговоре 10 бросков кубика — это серия из \(n = 10\) испытаний Бернулли. Если же различать все шесть исходов каждого броска, серии испытаний Бернулли не получается.
Ответ: да, если заранее выбрать, какой исход броска считать успехом, а все остальные — неудачей: тогда 10 бросков дают серию из 10 одинаковых независимых испытаний Бернулли; пока такой выбор не сделан, каждый бросок имеет шесть исходов и испытанием Бернулли не является.
