Страница 128 номер 254, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Выпишите все элементарные события, благоприятствующие:
а) 2 успехам в серии из 5 испытаний Бернулли;
б) 6 успехам в серии из 7 испытаний Бернулли.
Элементарное событие серии из \(n\) испытаний — бинарная последовательность длины \(n\) (1 — успех, 0 — неудача). Ровно \(k\) успехам благоприятствуют последовательности ровно с \(k\) единицами, а их \(C_n^k\) — этим числом и проверяется, что перебор полон.
а) Пять символов, из них две единицы и три нуля; всего таких последовательностей \(C_5^2 = 10\). Выписываем по возрастанию двоичного числа:
00011, 00101, 00110, 01001, 01010, 01100, 10001, 10010, 10100, 11000.
Выписано ровно 10 последовательностей — столько, сколько их есть.
б) Семь символов, из них шесть единиц и ровно один нуль: он стоит на одном из семи мест, поэтому последовательностей семь, \(C_7^6 = C_7^1 = 7\). Сдвигаем нуль слева направо:
0111111, 1011111, 1101111, 1110111, 1111011, 1111101, 1111110.
Ответ: а) 2 успехам в серии из 5 испытаний благоприятствуют элементарные события 00011, 00101, 00110, 01001, 01010, 01100, 10001, 10010, 10100, 11000; б) 6 успехам в серии из 7 испытаний благоприятствуют элементарные события 0111111, 1011111, 1101111, 1110111, 1111011, 1111101, 1111110.
Выпишите все элементарные события, благоприятствующие:
а) 2 успехам в серии из 5 испытаний Бернулли;
б) 6 успехам в серии из 7 испытаний Бернулли.
Элементарное событие серии из \(n\) испытаний — бинарная последовательность длины \(n\), в которой успех обозначен символом 1, а неудача — символом 0. Ровно \(k\) успехам благоприятствуют те последовательности, в которых ровно \(k\) единиц, и по теореме о бинарных последовательностях их число равно \(C_n^k\). Этим числом и проверяется, что перебор полон.
а) Серия из 5 испытаний, успехов ровно 2 — значит, в последовательности из пяти символов две единицы и три нуля. Всего их \(C_5^2 = 10\). Выписываем последовательности по возрастанию двоичного числа, то есть начиная с той, где обе единицы стоят как можно правее:
00011, 00101, 00110, 01001, 01010, 01100, 10001, 10010, 10100, 11000.
Выписано ровно 10 последовательностей — столько, сколько их есть.
б) Серия из 7 испытаний, успехов ровно 6 — значит, неудача ровно одна: нуль стоит на одном из семи мест, а на остальных шести местах стоят единицы. Мест семь, поэтому и последовательностей семь: \(C_7^6 = C_7^1 = 7\). Выписываем их в том же порядке — по возрастанию двоичного числа, то есть сдвигая единственный нуль слева направо:
0111111, 1011111, 1101111, 1110111, 1111011, 1111101, 1111110.
Ответ: а) 2 успехам в серии из 5 испытаний благоприятствуют элементарные события 00011, 00101, 00110, 01001, 01010, 01100, 10001, 10010, 10100, 11000; б) 6 успехам в серии из 7 испытаний благоприятствуют элементарные события 0111111, 1011111, 1101111, 1110111, 1111011, 1111101, 1111110.
