Страница 134 номер 276, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
В копилке 50 монет: 25 двухрублёвых и 25 десятирублёвых. Наудачу из копилки достали 4 монеты. Что более вероятно: что среди них будет одна двухрублёвая или что две?
Дано:
монет в копилке — 50
двухрублёвых — 25
десятирублёвых — 25
достали наудачу 4 монеты
Найти: что вероятнее — что среди вынутых монет ровно одна двухрублёвая или что ровно две.
Решение:
Монеты достали наудачу, поэтому все четвёрки монет равновозможны.
Совокупность — \(N = 50\) монет, успех — двухрублёвая монета: \(K = 25\), неудачных (десятирублёвых) \(N - K = 25\); объём выборки \(n = 4\), число двухрублёвых монет среди вынутых обозначим \(k\). Сравниваем вероятности событий \(A_1\) «ровно одна двухрублёвая» и \(A_2\) «ровно две двухрублёвые» — речь о точном числе монет, а не о «хотя бы одной» и «хотя бы двух».
\[\mathrm{P}(A_k) = \frac{C_{25}^k \cdot C_{25}^{4-k}}{C_{50}^4}.\]
Знаменатель \(C_{50}^4 = 230\,300\) у обеих вероятностей один и тот же, поэтому сравнить достаточно числители — числа подходящих выборок.
Для \(A_1\) одна монета берётся из 25 двухрублёвых, три — из 25 десятирублёвых, причём \(C_{25}^3 = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 2300\):
\[C_{25}^1 \cdot C_{25}^3 = 25 \cdot 2300 = 57\,500.\]
Для \(A_2\) по две монеты берутся из 25 двухрублёвых и из 25 десятирублёвых, причём \(C_{25}^2 = \frac{25 \cdot 24}{1 \cdot 2} = 300\):
\[C_{25}^2 \cdot C_{25}^2 = 300 \cdot 300 = 90\,000.\]
Выборок с ровно двумя двухрублёвыми больше: \(90\,000 > 57\,500\); знаменатели одинаковы, значит, и вероятность события \(A_2\) больше.
Ответ: вероятнее, что среди четырёх вынутых монет окажутся две двухрублёвые.
В копилке 50 монет: 25 двухрублёвых и 25 десятирублёвых. Наудачу из копилки достали 4 монеты. Что более вероятно: что среди них будет одна двухрублёвая или что две?
Дано:
монет в копилке — 50
двухрублёвых — 25
десятирублёвых — 25
достали наудачу 4 монеты
Найти: что вероятнее — что среди вынутых монет ровно одна двухрублёвая или что ровно две.
Решение:
Монеты достали наудачу, поэтому все четвёрки монет равновозможны.
Совокупность — \(N = 50\) монет. Успехом считаем двухрублёвую монету: успешных элементов \(K = 25\), неудачных (десятирублёвых) \(N - K = 25\). Объём выборки \(n = 4\), а число двухрублёвых монет среди вынутых обозначим \(k\). Сравнить нужно вероятности событий \(A_1\) «среди вынутых монет ровно одна двухрублёвая» и \(A_2\) «среди вынутых монет ровно две двухрублёвые» — речь именно о точном числе двухрублёвых монет, а не о «хотя бы одной» и «хотя бы двух».
\[\mathrm{P}(A_k) = \frac{C_{25}^k \cdot C_{25}^{4-k}}{C_{50}^4}.\]
Контроль по сумме индексов: сверху \(k + (4 - k) = 4\), снизу \(25 + 25 = 50\) — формула составлена верно.
Знаменатель \(C_{50}^4 = 230\,300\) у обеих вероятностей один и тот же, поэтому вычислять их полностью не нужно: какая вероятность больше, показывают числители — числа подходящих выборок.
Для события \(A_1\): одна монета берётся из 25 двухрублёвых, три — из 25 десятирублёвых, причём \(C_{25}^3 = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 2300\):
\[C_{25}^1 \cdot C_{25}^3 = 25 \cdot 2300 = 57\,500.\]
Для события \(A_2\): две монеты берутся из 25 двухрублёвых и две из 25 десятирублёвых, причём \(C_{25}^2 = \frac{25 \cdot 24}{1 \cdot 2} = 300\):
\[C_{25}^2 \cdot C_{25}^2 = 300 \cdot 300 = 90\,000.\]
Выборок, в которых двухрублёвых монет ровно две, больше: \(90\,000 > 57\,500\). Знаменатели одинаковы, значит, и вероятность у события \(A_2\) больше.
Ответ: вероятнее, что среди четырёх вынутых монет окажутся две двухрублёвые.
