Страница 133 номер 272, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
луковиц в ящике — 9
белых тюльпанов — 3
красных тюльпанов — 6
ростки дали 5 луковиц
Найти: вероятность того, что среди проросших луковиц: а) не больше 1 белой; б) от 2 до 4 красных.
Решение:
Луковицы неотличимы на вид и лежали вперемешку, вероятности прорастания у всех одинаковы, поэтому проросшими могли оказаться любые пять луковиц из девяти и все пятёрки равновозможны: пятёрку проросших считаем случайной выборкой.
Совокупность — \(N = 9\) луковиц, успех — белая луковица: \(K = 3\), неудачных (красных) \(N - K = 6\); объём выборки \(n = 5\), число белых луковиц среди проросших обозначим \(k\).
\[\mathrm{P}(A_k) = \frac{C_3^k \cdot C_6^{5-k}}{C_9^5}.\]
Знаменатель у обоих пунктов один и тот же, и по симметричности его удобно считать так:
\[C_9^5 = C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 126.\]
а) Не больше 1 белой луковицы — два несовместных случая: белых нет вовсе (\(k = 0\)) или белая ровно одна (\(k = 1\)).
\[\mathrm{P}(A_0) = \frac{C_3^0 \cdot C_6^5}{C_9^5} = \frac{1 \cdot 6}{126} = \frac{6}{126};\] \[\mathrm{P}(A_1) = \frac{C_3^1 \cdot C_6^4}{C_9^5} = \frac{3 \cdot 15}{126} = \frac{45}{126}.\]
События несовместны, поэтому вероятности складываются:
\[\mathrm{P}(A_0) + \mathrm{P}(A_1) = \frac{6 + 45}{126} = \frac{51}{126} = \frac{17}{42} \approx 0{,}405.\]
б) Белых луковиц всего 3, поэтому среди пяти проросших красных не меньше двух, а больше пяти красных среди пяти быть не может. Значит, событию «от 2 до 4 красных» противоположно единственное событие — «все 5 проросших луковиц красные», то есть \(A_0\), и его вероятность уже найдена: \(\mathrm{P}(A_0) = \frac{6}{126} = \frac{1}{21}\).
\[1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21} \approx 0{,}952.\]
Ответ: а) \(\frac{17}{42} \approx 0{,}405\); б) \(\frac{20}{21} \approx 0{,}952\).
Дано:
луковиц в ящике — 9
белых тюльпанов — 3
красных тюльпанов — 6
ростки дали 5 луковиц
Найти: вероятность того, что среди проросших луковиц: а) не больше 1 белой; б) от 2 до 4 красных.
Решение:
Луковицы неотличимы на вид и лежали вперемешку, а вероятности прорастания у всех одинаковы. Значит, проросшими могли оказаться любые пять луковиц из девяти, и все такие пятёрки равновозможны: пятёрку проросших луковиц считаем случайной выборкой.
Совокупность — \(N = 9\) луковиц. Успехом считаем белую луковицу: успешных элементов \(K = 3\), неудачных (красных) \(N - K = 6\). Объём выборки \(n = 5\), а число белых луковиц среди проросших обозначим \(k\). Вероятность события \(A_k\) «среди проросших луковиц ровно \(k\) белых» равна
\[\mathrm{P}(A_k) = \frac{C_3^k \cdot C_6^{5-k}}{C_9^5}.\]
Контроль по сумме индексов: сверху \(k + (5 - k) = 5\), снизу \(3 + 6 = 9\) — формула составлена верно.
Знаменатель у обоих пунктов один и тот же, и по симметричности его удобно считать так:
\[C_9^5 = C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 126.\]
а) Не больше 1 белой луковицы — это два несовместных случая: белых нет вовсе (\(k = 0\)) или белая ровно одна (\(k = 1\)).
\[\mathrm{P}(A_0) = \frac{C_3^0 \cdot C_6^5}{C_9^5} = \frac{1 \cdot 6}{126} = \frac{6}{126};\] \[\mathrm{P}(A_1) = \frac{C_3^1 \cdot C_6^4}{C_9^5} = \frac{3 \cdot 15}{126} = \frac{45}{126}.\]
События несовместны, поэтому вероятности складываются:
\[\mathrm{P}(A_0) + \mathrm{P}(A_1) = \frac{6 + 45}{126} = \frac{51}{126} = \frac{17}{42} \approx 0{,}405.\]
б) Белых луковиц в ящике всего 3, поэтому среди пяти проросших красных не меньше двух: случаев «0 красных» и «1 красная» не бывает вовсе, и вычитать их не из чего. Больше пяти красных среди пяти проросших тоже быть не может, так что событию «от 2 до 4 красных» противоположно единственное событие — «все 5 проросших луковиц красные», то есть «белых нет ни одной». Это событие \(A_0\), и его вероятность уже найдена: \(\mathrm{P}(A_0) = \frac{6}{126} = \frac{1}{21}\).
Вероятность противоположного события даёт ответ:
\[1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21} \approx 0{,}952.\]
Ответ: а) \(\frac{17}{42} \approx 0{,}405\); б) \(\frac{20}{21} \approx 0{,}952\).
