Страница 124 номер 250, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(p = 0{,}5\) — вероятность попадания при одном выстреле
выстрелы до первого попадания
вероятность поражения мишени не менее \(0{,}9\)

Найти: наименьшее число патронов.

Решение:

Каждый выстрел — испытание Бернулли: стрелок либо попадает в мишень, либо промахивается. Вероятность попадания при каждом выстреле одна и та же, выстрелы не влияют друг на друга, поэтому испытания одинаковы и независимы; после первого попадания стрельба прекращается. Вероятность промаха \(q = 1 - p = 0{,}5\).

Пусть у стрелка \(n\) патронов. Мишень будет поражена тогда и только тогда, когда успех наступит не позже \(n\)-го выстрела. Противоположное событие наступает, только если все \(n\) выстрелов неудачны, и его вероятность равна \(q^n\). Значит, вероятность поражения мишени равна \(1 - 0{,}5^n\), и по условию она должна быть не меньше \(0{,}9\):

\[1 - 0{,}5^n \geqslant 0{,}9.\]

Это неравенство равносильно неравенству \(0{,}5^n \leqslant 0{,}1\). Степень \(0{,}5^n\) с ростом показателя убывает, поэтому достаточно найти наименьшее \(n\), при котором она не превосходит \(0{,}1\):

\[0{,}5^1 = 0{,}5;\quad 0{,}5^2 = 0{,}25;\quad 0{,}5^3 = 0{,}125 > 0{,}1;\quad 0{,}5^4 = 0{,}0625 \leqslant 0{,}1.\]

При \(n \leqslant 3\) неравенство не выполняется, а при \(n = 4\) выполняется — значит, выполняется и при всяком \(n \geqslant 4\). Наименьшее подходящее число патронов равно 4, а при пяти и более патронах вероятность поражения мишени тоже не меньше \(0{,}9\).

Проверка: при четырёх патронах вероятность поражения мишени равна \(1 - 0{,}0625 = 0{,}9375 \geqslant 0{,}9\), а при трёх — только \(1 - 0{,}125 = 0{,}875 < 0{,}9\).

Ответ: стрелок должен иметь не менее 4 патронов.