Страница 128 номер 256, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Сколько элементарных событий в серии из 10 испытаний Бернулли благоприятствует:
а) 2 или 3 успехам;
б) не более чем 3 успехам;
в) не менее чем 3 успехам?
Всех бинарных последовательностей длины 10 — \(2^{10} = 1024\), а ровно \(k\) успехам благоприятствуют \(C_{10}^k\) из них. Строка \(n = 10\) треугольника Паскаля: \(1;\ 10;\ 45;\ 120;\ 210;\ 252;\ 210;\ 120;\ 45;\ 10;\ 1\).
а) Ровно 2 или ровно 3 успеха; эти случаи несовместны, поэтому числа складываются:
\[C_{10}^2 + C_{10}^3 = 45 + 120 = 165.\]
б) «Не более чем 3 успехам» — это 0, 1, 2 или 3 успеха, случай без успехов тоже входит в счёт:
\[C_{10}^0 + C_{10}^1 + C_{10}^2 + C_{10}^3 = 1 + 10 + 45 + 120 = 176.\]
в) «Не менее чем 3 успехам» — это 3, 4, …, 10 успехов; короче сосчитать остальные: числу успехов 0, 1 и 2 благоприятствуют \(1 + 10 + 45 = 56\) последовательностей, а всех 1024:
\[1024 - 56 = 968.\]
Проверка: \(176 + 968 = 1144\) — на 120 больше, чем всех последовательностей; лишние 120 — это \(C_{10}^3\), случай ровно трёх успехов: он входит и в пункт б), и в пункт в), поэтому события этих пунктов друг друга не дополняют.
Ответ: а) 165 элементарных событий; б) 176 элементарных событий; в) 968 элементарных событий.
Сколько элементарных событий в серии из 10 испытаний Бернулли благоприятствует:
а) 2 или 3 успехам;
б) не более чем 3 успехам;
в) не менее чем 3 успехам?
Элементарное событие серии из 10 испытаний — бинарная последовательность длины 10, и всего их \(2^{10} = 1024\). Ровно \(k\) успехам благоприятствуют последовательности ровно с \(k\) единицами, а их по теореме о бинарных последовательностях \(C_{10}^k\). Значения берём из строки \(n = 10\) треугольника Паскаля: \(1;\ 10;\ 45;\ 120;\ 210;\ 252;\ 210;\ 120;\ 45;\ 10;\ 1\).
а) «2 или 3 успехам» — это ровно 2 успеха или ровно 3 успеха. Ни одна последовательность не может иметь одновременно и две единицы, и три, поэтому числа складываются:
\[C_{10}^2 + C_{10}^3 = 45 + 120 = 165.\]
б) «Не более чем 3 успехам» — это 0, 1, 2 или 3 успеха; случай, когда успехов нет вовсе, тоже входит в счёт:
\[C_{10}^0 + C_{10}^1 + C_{10}^2 + C_{10}^3 = 1 + 10 + 45 + 120 = 176.\]
в) «Не менее чем 3 успехам» — это 3, 4, …, 10 успехов, то есть восемь слагаемых. Короче сосчитать остальные последовательности: числу успехов 0, 1 и 2 благоприятствуют \(1 + 10 + 45 = 56\) последовательностей, а всех последовательностей 1024. Значит, искомое число равно
\[1024 - 56 = 968.\]
Проверка: \(176 + 968 = 1144\), и это на 120 больше, чем всех последовательностей. Лишние 120 — это \(C_{10}^3\), случай ровно трёх успехов: он входит и в пункт б), и в пункт в), поэтому события этих пунктов друг друга не дополняют.
Ответ: а) 165 элементарных событий; б) 176 элементарных событий; в) 968 элементарных событий.
