Страница 141 номер 287, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Составьте таблицу распределения случайной величины \(X\), связанной со случайным опытом, изображённым на диаграмме Эйлера:
а) на рисунке 122;
б) на рисунке 123.
а) На первой диаграмме 10 элементарных событий, вероятность каждого равна \(0{,}1\); одинаковые значения склеиваются, множитель — число точек с этим значением:
\(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}1 \cdot 2 = 0{,}2\);
\(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}1 \cdot 2 = 0{,}2\);
\(\mathrm{P}(X = 4) = 0{,}1 \cdot 2 = 0{,}2\);
\(\mathrm{P}(X = 5) = 0{,}1 \cdot 4 = 0{,}4\).
\[X \sim \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}4 = 1\).
б) На второй диаграмме 8 элементарных событий, вероятности у них разные, поэтому вероятности точек с одинаковым значением складываем:
\(\mathrm{P}(X = 0) = 0{,}05 + 0{,}05 = 0{,}1\);
\(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}1 + 0{,}25 = 0{,}35\);
\(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}15 + 0{,}05 + 0{,}3 = 0{,}5\);
\(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}05\).
\[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0{,}1 & 0{,}35 & 0{,}5 & 0{,}05 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}1 + 0{,}35 + 0{,}5 + 0{,}05 = 1\).
Ответ: а) \(X \sim \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}\); б) \(X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0{,}1 & 0{,}35 & 0{,}5 & 0{,}05 \end{pmatrix}\).
Составьте таблицу распределения случайной величины \(X\), связанной со случайным опытом, изображённым на диаграмме Эйлера:
а) на рисунке 122;
б) на рисунке 123.
Вероятность значения случайной величины равна сумме вероятностей тех элементарных событий, при которых величина принимает это значение: одинаковые значения склеиваются в одно.
а) На первой диаграмме 10 элементарных событий, и вероятность каждого равна \(0{,}1\). Значение 2 стоит у двух точек, значение 3 — у двух, значение 4 — у двух, значение 5 — у четырёх:
\(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}1 \cdot 2 = 0{,}2\);
\(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}1 \cdot 2 = 0{,}2\);
\(\mathrm{P}(X = 4) = 0{,}1 \cdot 2 = 0{,}2\);
\(\mathrm{P}(X = 5) = 0{,}1 \cdot 4 = 0{,}4\).
\[X \sim \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}4 = 1\).
б) На второй диаграмме 8 элементарных событий, и вероятности у них разные, поэтому вероятности точек с одинаковым значением складываем:
\(\mathrm{P}(X = 0) = 0{,}05 + 0{,}05 = 0{,}1\);
\(\mathrm{P}(X = 1) = 0{,}1 + 0{,}25 = 0{,}35\);
\(\mathrm{P}(X = 2) = 0{,}15 + 0{,}05 + 0{,}3 = 0{,}5\);
\(\mathrm{P}(X = 3) = 0{,}05\).
\[X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0{,}1 & 0{,}35 & 0{,}5 & 0{,}05 \end{pmatrix}.\]
Проверка: \(0{,}1 + 0{,}35 + 0{,}5 + 0{,}05 = 1\).
Ответ: а) \(X \sim \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}\); б) \(X \sim \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0{,}1 & 0{,}35 & 0{,}5 & 0{,}05 \end{pmatrix}\).
