Страница 129 номер 264, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(n = 8\) — число батареек в упаковке
\(p = 3\,\% = 0{,}03\) — вероятность того, что батарейка неисправна

Найти: вероятность того, что в упаковке ровно 2 неисправные батарейки, и вероятность того, что неисправна ровно 1 батарейка.

Решение:

Слова «в среднем 3 % батареек неисправны» значат, что доля неисправных батареек постоянна и вероятность брака у каждой батарейки одна и та же, а батарейки попадают в упаковку независимо одна от другой. Поэтому упаковку можно считать серией из \(n = 8\) испытаний Бернулли: каждая батарейка — отдельное испытание, успех — «батарейка неисправна», \(p = 0{,}03\), а неудача — «батарейка исправна», \(q = 1 - 0{,}03 = 0{,}97\).

По формуле Бернулли вероятность события \(A_k\) «ровно \(k\) неисправных батареек» равна \(\mathrm{P}(A_k) = C_8^k \cdot 0{,}03^k \cdot 0{,}97^{\,8-k}\).

а) Ровно 2 неисправные — это событие \(A_2\), и \(C_8^2 = 28\):

\[\mathrm{P}(A_2) = C_8^2 \cdot 0{,}03^2 \cdot 0{,}97^6 = 28 \cdot 0{,}0009 \cdot 0{,}97^6 = 0{,}0252 \cdot 0{,}97^6 \approx 0{,}021.\]

б) «1 неисправная» означает ровно одну неисправную батарейку, то есть событие \(A_1\), и \(C_8^1 = 8\):

\[\mathrm{P}(A_1) = C_8^1 \cdot 0{,}03 \cdot 0{,}97^7 = 8 \cdot 0{,}03 \cdot 0{,}97^7 = 0{,}24 \cdot 0{,}97^7 \approx 0{,}194.\]

Ответ: а) приближённо \(0{,}021\); б) приближённо \(0{,}194\).