Страница 134 номер 274, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
спортсменок — 40
из России — 9
дорожек в бассейне — 4
выступают четвёрками, порядок — по жребию

Найти: вероятность того, что в первой четвёрке окажутся ровно две спортсменки из России.

Решение:

Порядок выступления определяет жребий, поэтому первую четвёрку могут составить любые 4 спортсменки из 40 и все такие четвёрки равновозможны. Кто попадёт в остальные девять заплывов, на ответ не влияет: вопрос только про первую четвёрку.

Совокупность — \(N = 40\) спортсменок. Успехом считаем спортсменку из России: успешных элементов \(K = 9\), неудачных \(N - K = 31\). Объём выборки \(n = 4\), а нужное число успехов \(k = 2\) — именно ровно две спортсменки из России, а не «хотя бы две». Вероятность события \(A\) «в первой четвёрке ровно две спортсменки из России» равна

\[\mathrm{P}(A) = \frac{C_9^2 \cdot C_{31}^2}{C_{40}^4}.\]

Контроль по сумме индексов: сверху \(2 + 2 = 4\), снизу \(9 + 31 = 40\) — формула составлена верно.

Считаем числа сочетаний:

\[C_9^2 = \frac{9 \cdot 8}{1 \cdot 2} = 36; \quad C_{31}^2 = \frac{31 \cdot 30}{1 \cdot 2} = 465;\] \[C_{40}^4 = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 91\,390.\]

Значит,

\[\mathrm{P}(A) = \frac{36 \cdot 465}{91\,390} = \frac{16\,740}{91\,390} = \frac{1674}{9139} \approx 0{,}183.\]

Ответ: \(\frac{1674}{9139} \approx 0{,}183\).