Страница 130 номер 267, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
два столбика монет, по 10 монет в каждом
положение каждой монеты случайное

Найти: вероятность того, что в столбиках поровну монет, которые лежат орлом вверх.

Решение:

Кассир не следит, какой стороной он кладёт монету, поэтому у каждой монеты положения «орлом вверх» и «решкой вверх» равновозможны: вероятность каждого равна \(0{,}5\). Монеты кладутся независимо одна от другой.

Обозначим через \(a\) число монет, лежащих орлом вверх в первом столбике, и через \(b\) — число таких монет во втором столбике. Нужна вероятность события \(a = b\).

Перевернём второй столбик и положим его на первый. При перевороте каждая монета этого столбика меняет положение на противоположное: та, что лежала орлом вверх, ложится решкой вверх, и наоборот. Поэтому орлом вверх в перевёрнутом столбике лежат \(10 - b\) монет. Вероятности от переворота не меняются: орёл и решка равновозможны, значит, и перевёрнутая монета лежит орлом вверх с той же вероятностью \(0{,}5\), а независимость монет переворот не нарушает.

В получившемся столбике из 20 монет орлом вверх лежат \(a + (10 - b)\) монет, и равенство \(a + 10 - b = 10\) выполняется тогда и только тогда, когда \(a = b\). Значит, событие «в столбиках поровну монет, лежащих орлом вверх» — то же самое, что событие «в столбике из 20 монет ровно 10 лежат орлом вверх».

Этот столбик — серия из \(n = 20\) одинаковых независимых испытаний Бернулли: каждая монета даёт одно испытание, успех — «монета лежит орлом вверх», \(p = 0{,}5\), \(q = 0{,}5\). По формуле Бернулли вероятность события \(A_{10}\) «ровно 10 успехов» равна

\[\mathrm{P}(A_{10}) = C_{20}^{10} \cdot 0{,}5^{10} \cdot 0{,}5^{10} = \frac{C_{20}^{10}}{2^{20}}.\]

Здесь \(C_{20}^{10} = \frac{20!}{10!\,10!} = 184\,756\), а \(2^{20} = 1\,048\,576\), поэтому

\[\mathrm{P}(A_{10}) = \frac{184\,756}{1\,048\,576} = \frac{46\,189}{262\,144} \approx 0{,}176.\]

Ответ: приближённо \(0{,}176\).