Страница 124 номер 252, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Испытания одинаковы и независимы, вероятность неудачи в каждом равна \(q\), а после первого успеха испытания прекращаются.
Для любого натурального \(m\) событие «потребуется не менее \(m\) испытаний» наступает тогда и только тогда, когда первые \(m - 1\) испытаний неудачны, а вероятность \(m - 1\) неудач подряд равна \(q^{\,m-1}\).
Событию \(A\) «потребуется от \(k\) до \(n\) испытаний» благоприятствуют те элементарные события из события \(B\) «потребуется не менее \(k\) испытаний», которые не входят в событие \(C\) «потребуется не менее \(n + 1\) испытаний». По условию \(k < n\), поэтому \(C\) содержится в \(B\) и вероятности вычитаются:
\[\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(C) = q^{\,k-1} - q^{\,(n+1)-1} = q^{\,k-1} - q^{\,n}.\]
Проверка: при \(k = 1\) формула даёт \(q^0 - q^n = 1 - q^n\) — вероятность того, что потребуется не более \(n\) испытаний, а противоположное ей событие «первые \(n\) испытаний неудачны» имеет вероятность \(q^n\).
Ответ: \(q^{\,k-1} - q^{\,n}\).
Испытания одинаковы и независимы, вероятность неудачи в каждом из них равна \(q\), а после первого успеха испытания прекращаются.
Для любого натурального числа \(m\) событие «потребуется не менее \(m\) испытаний» наступает тогда и только тогда, когда первые \(m - 1\) испытаний неудачны: успех в одном из них прекратил бы испытания раньше. Вероятность \(m - 1\) неудач подряд по правилу умножения равна произведению \(m - 1\) множителей \(q\), то есть \(q^{\,m-1}\).
Событию \(A\) «потребуется от \(k\) до \(n\) испытаний» благоприятствуют те элементарные события из события \(B\) «потребуется не менее \(k\) испытаний», которые не входят в событие \(C\) «потребуется не менее \(n + 1\) испытаний»: число испытаний не меньше \(k\) и при этом не больше \(n\). По условию \(k < n\), поэтому событие \(C\) содержится в событии \(B\), и вероятность события \(A\) равна разности вероятностей:
\[\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(C) = q^{\,k-1} - q^{\,(n+1)-1} = q^{\,k-1} - q^{\,n}.\]
Проверка: при \(k = 1\) формула даёт \(q^0 - q^n = 1 - q^n\) — вероятность того, что потребуется не более \(n\) испытаний; противоположное этому событие «первые \(n\) испытаний неудачны» имеет вероятность \(q^n\), так что равенство верное.
Ответ: \(q^{\,k-1} - q^{\,n}\).
