Страница 123 номер 248, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(p = 0{,}25\) — вероятность успеха при одной попытке
попытки повторяются до первой успешной

Найти: вероятность того, что СМС будет отправлено а) с первой или со второй попытки; б) не позже чем при четвёртой попытке.

Решение:

Каждая попытка отправить СМС — испытание Бернулли: она либо успешна, либо нет. Вероятность успеха \(p = 0{,}25\), вероятность неудачи \(q = 1 - p = 0{,}75\). Условия связи при каждой попытке считаем одинаковыми, а сами попытки — независимыми; после первой успешной попытки они прекращаются. Неудачу обозначим символом 0, успех — символом 1.

а) Событию \(A\) «СМС отправлено с первой или со второй попытки» благоприятствуют элементарные события 1 и 01:

\[\begin{aligned} &\mathrm{P}(A) = p + qp = 0{,}25 + 0{,}75 \cdot 0{,}25 = {} \\ &= 0{,}25 + 0{,}1875 = 0{,}4375 \approx 0{,}438. \end{aligned}\]

б) Событие \(A\) «СМС отправлено не позже чем при четвёртой попытке» включает и саму четвёртую попытку, то есть успех наступает при первой, второй, третьей или четвёртой попытке. Противоположное событие \(\overline{A}\) наступает, только если все четыре первые попытки неудачны, поэтому \(\mathrm{P}(\overline{A}) = q^4\) и

\[\mathrm{P}(A) = 1 - q^4 = 1 - 0{,}75^4 = 1 - 0{,}31640625 = 0{,}68359375 \approx 0{,}684.\]

Ответ: а) \(0{,}4375 \approx 0{,}438\); б) \(0{,}68359375 \approx 0{,}684\).