Страница 129 номер 260, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Монету бросили 6 раз. Найдите вероятность того, что выпадет:
а) ровно 2 орла;
б) орлов столько же, сколько решек;
в) орлов меньше, чем решек;
г) орлов не меньше, чем решек.
Монету считаем симметричной, успехом — выпадение орла: \(p = 0{,}5\), \(q = 0{,}5\). Броски одинаковы и независимы, число их задано заранее: \(n = 6\). Вероятность события \(A_k\) «выпало ровно \(k\) орлов» равна
\[\mathrm{P}(A_k) = C_6^k \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{6-k} = C_6^k \cdot 0{,}5^6 = \frac{C_6^k}{64}.\]
Строка \(n = 6\) треугольника Паскаля: \(1;\ 6;\ 15;\ 20;\ 15;\ 6;\ 1\).
а) Ровно 2 орла — это событие \(A_2\):
\[\mathrm{P}(A_2) = \frac{C_6^2}{64} = \frac{15}{64} = 0{,}234375 \approx 0{,}234.\]
б) Бросков 6, число чётное, поэтому «орлов столько же, сколько решек» значит «орлов ровно 3»:
\[\mathrm{P}(A_3) = \frac{C_6^3}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16} = 0{,}3125 \approx 0{,}313.\]
в) Орлов меньше, чем решек, — значит, меньше трёх: 0, 1 или 2; события \(A_0\), \(A_1\) и \(A_2\) несовместны, а \(C_6^0 = 1\), \(C_6^1 = 6\) и \(C_6^2 = 15\):
\[\mathrm{P} = \frac{1 + 6 + 15}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32} = 0{,}34375 \approx 0{,}344.\]
г) Орлов либо меньше, чем решек, либо не меньше, поэтому это событие противоположно событию пункта в) и вероятность его дополняет найденную до единицы:
\[\mathrm{P} = 1 - \frac{22}{64} = \frac{42}{64} = \frac{21}{32} = 0{,}65625 \approx 0{,}656.\]
Ответ: а) \(\frac{15}{64} \approx 0{,}234\); б) \(\frac{5}{16} \approx 0{,}313\); в) \(\frac{11}{32} \approx 0{,}344\); г) \(\frac{21}{32} \approx 0{,}656\).
Монету бросили 6 раз. Найдите вероятность того, что выпадет:
а) ровно 2 орла;
б) орлов столько же, сколько решек;
в) орлов меньше, чем решек;
г) орлов не меньше, чем решек.
Монету считаем симметричной, поэтому орёл и решка при каждом бросании равновозможны: вероятность успеха «выпал орёл» равна \(p = 0{,}5\), вероятность неудачи \(q = 0{,}5\). Броски не влияют друг на друга, условия их одинаковы, а число бросков задано заранее: \(n = 6\). Значит, опыт — серия из 6 испытаний Бернулли, и по формуле Бернулли вероятность события \(A_k\) «выпало ровно \(k\) орлов» равна
\[\mathrm{P}(A_k) = C_6^k \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{6-k} = C_6^k \cdot 0{,}5^6 = \frac{C_6^k}{64}.\]
Числа сочетаний берём из строки \(n = 6\) треугольника Паскаля: \(1;\ 6;\ 15;\ 20;\ 15;\ 6;\ 1\).
а) Ровно 2 орла — это событие \(A_2\):
\[\mathrm{P}(A_2) = \frac{C_6^2}{64} = \frac{15}{64} = 0{,}234375 \approx 0{,}234.\]
б) Бросков 6, число чётное, поэтому «орлов столько же, сколько решек» значит «орлов ровно 3»:
\[\mathrm{P}(A_3) = \frac{C_6^3}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16} = 0{,}3125 \approx 0{,}313.\]
в) Орлов меньше, чем решек, — значит, орлов меньше трёх: 0, 1 или 2. События \(A_0\), \(A_1\) и \(A_2\) несовместны, поэтому их вероятности складываются, а числа сочетаний равны \(C_6^0 = 1\), \(C_6^1 = 6\) и \(C_6^2 = 15\):
\[\mathrm{P} = \frac{1 + 6 + 15}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32} = 0{,}34375 \approx 0{,}344.\]
г) «Орлов не меньше, чем решек» — это событие, противоположное событию пункта в): либо орлов меньше, чем решек, либо не меньше, третьего не дано. Поэтому его вероятность дополняет вероятность пункта в) до единицы:
\[\mathrm{P} = 1 - \frac{22}{64} = \frac{42}{64} = \frac{21}{32} = 0{,}65625 \approx 0{,}656.\]
Ответ: а) \(\frac{15}{64} \approx 0{,}234\); б) \(\frac{5}{16} \approx 0{,}313\); в) \(\frac{11}{32} \approx 0{,}344\); г) \(\frac{21}{32} \approx 0{,}656\).
