Страница 129 номер 265, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
\(n = 10\) — число лампочек в упаковке
\(p = 2{,}5\,\% = 0{,}025\) — вероятность того, что лампочка бракованная

Найти: вероятность того, что в упаковке нет ни одной бракованной лампочки, и вероятность того, что бракованная ровно одна.

Решение:

Слова «в среднем \(2{,}5\) % лампочек бракованные» значат, что доля брака постоянна и вероятность брака у каждой лампочки одна и та же, а лампочки попадают в упаковку независимо одна от другой. Поэтому упаковка — серия из \(n = 10\) испытаний Бернулли: каждая лампочка — отдельное испытание, успех — «лампочка бракованная», \(p = 0{,}025\), а неудача — «лампочка исправна», \(q = 1 - 0{,}025 = 0{,}975\).

По формуле Бернулли вероятность события \(A_k\) «ровно \(k\) бракованных лампочек» равна \(\mathrm{P}(A_k) = C_{10}^k \cdot 0{,}025^k \cdot 0{,}975^{\,10-k}\).

а) Ни одной бракованной — это событие \(A_0\). Множители \(C_{10}^0 = 1\) и \(0{,}025^0 = 1\), поэтому остаётся одна степень:

\[\mathrm{P}(A_0) = C_{10}^0 \cdot 0{,}025^0 \cdot 0{,}975^{10} = 0{,}975^{10} \approx 0{,}776.\]

б) Ровно 1 бракованная — это событие \(A_1\), и \(C_{10}^1 = 10\):

\[\mathrm{P}(A_1) = C_{10}^1 \cdot 0{,}025 \cdot 0{,}975^9 = 10 \cdot 0{,}025 \cdot 0{,}975^9 = 0{,}25 \cdot 0{,}975^9 \approx 0{,}199.\]

Ответ: а) приближённо \(0{,}776\); б) приближённо \(0{,}199\).