Страница 133 номер 273, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
чемоданов в самолёте — 200
чемоданов группы — 30
первых чемоданов на ленте — 150
Найти: вероятность того, что все 30 чемоданов группы окажутся среди первых 150 чемоданов на ленте.
Решение:
Чемоданы выкладывают в случайном порядке, поэтому чемоданам группы могут достаться любые 30 мест из 200 и все наборы мест равновозможны.
Совокупность — \(N = 200\) мест на ленте, успех — место среди первых 150: \(K = 150\), неудачных \(N - K = 50\). Выборка — \(n = 30\) мест чемоданов группы; в событии \(A\) «все чемоданы группы вышли среди первых 150» успешных мест \(k = 30\), неудачных ни одного, и \(C_{50}^0 = 1\).
\[\mathrm{P}(A) = \frac{C_{150}^{30} \cdot C_{50}^{0}}{C_{200}^{30}} = \frac{C_{150}^{30}}{C_{200}^{30}}.\]
Считать сами числа сочетаний не нужно: в отношении почти всё сокращается.
\[\begin{aligned} &\frac{C_{150}^{30}}{C_{200}^{30}} = \frac{150!}{30!\,120!} : \frac{200!}{30!\,170!} = \frac{150!\,170!}{120!\,200!} = {} \\ &= \frac{150 \cdot 149 \cdot \ldots \cdot 121}{200 \cdot 199 \cdot \ldots \cdot 171} = \frac{150}{200} \cdot \frac{149}{199} \cdot \ldots \cdot \frac{121}{171}. \end{aligned}\]
К тому же произведению приводит последовательное рассуждение: первый чемодан группы попадает в первые 150 мест с вероятностью \(\frac{150}{200}\), второй при одном уже занятом успешном месте — с вероятностью \(\frac{149}{199}\) (свободных мест 199, успешных среди них 149), и так тридцать раз.
В произведении 30 множителей, все меньше единицы, каждый следующий меньше предыдущего: первый равен \(\frac{150}{200} = \frac{3}{4}\), последний — \(\frac{121}{171}\).
\[\frac{150}{200} \cdot \frac{149}{199} \cdot \ldots \cdot \frac{121}{171} = 0{,}0000785946\ldots \approx 0{,}00008.\]
Округлено до пятого знака после запятой: при округлении до тысячных от такой вероятности не осталось бы ничего, кроме нуля. Событие практически невозможно — все тридцать чемоданов группы должны попасть в первые три четверти ленты.
Ответ: \(\frac{C_{150}^{30}}{C_{200}^{30}} \approx 0{,}00008\).
Дано:
чемоданов в самолёте — 200
чемоданов группы — 30
первых чемоданов на ленте — 150
Найти: вероятность того, что все 30 чемоданов группы окажутся среди первых 150 чемоданов на ленте.
Решение:
Грузчики выкладывают чемоданы в случайном порядке, поэтому чемоданам группы могут достаться любые 30 мест из 200, и все такие наборы мест равновозможны.
Совокупность — \(N = 200\) мест на ленте. Успехом считаем место среди первых 150: успешных элементов \(K = 150\), неудачных \(N - K = 50\). Выборка — \(n = 30\) мест, которые заняли чемоданы группы; событие \(A\) «все чемоданы группы вышли среди первых 150» означает, что успешных мест в выборке ровно \(k = 30\), а неудачных ни одного. Поскольку \(C_{50}^0 = 1\), формула сразу упрощается:
\[\mathrm{P}(A) = \frac{C_{150}^{30} \cdot C_{50}^{0}}{C_{200}^{30}} = \frac{C_{150}^{30}}{C_{200}^{30}}.\]
Контроль по сумме индексов: сверху \(30 + 0 = 30\), снизу \(150 + 50 = 200\) — формула составлена верно.
Сами числа сочетаний огромны, но считать их не нужно: в отношении почти всё сокращается.
\[\begin{aligned} &\frac{C_{150}^{30}}{C_{200}^{30}} = \frac{150!}{30!\,120!} : \frac{200!}{30!\,170!} = \frac{150!\,170!}{120!\,200!} = {} \\ &= \frac{150 \cdot 149 \cdot \ldots \cdot 121}{200 \cdot 199 \cdot \ldots \cdot 171} = \frac{150}{200} \cdot \frac{149}{199} \cdot \ldots \cdot \frac{121}{171}. \end{aligned}\]
К такому же произведению приводит и последовательное рассуждение: первый чемодан группы попадает в первые 150 мест с вероятностью \(\frac{150}{200}\); второй при уже занятом одном успешном месте — с вероятностью \(\frac{149}{199}\), потому что свободных мест осталось 199, а успешных среди них 149; и так тридцать раз, пока не разместятся все чемоданы группы.
В произведении 30 множителей, все они меньше единицы, и каждый следующий меньше предыдущего: первый равен \(\frac{150}{200} = \frac{3}{4}\), последний — \(\frac{121}{171}\). Перемножив их, получаем
\[\frac{150}{200} \cdot \frac{149}{199} \cdot \ldots \cdot \frac{121}{171} = 0{,}0000785946\ldots \approx 0{,}00008.\]
Значение округлено до пятого знака после запятой: при округлении до тысячных от такой вероятности не осталось бы ничего, кроме нуля. Событие практически невозможно — все тридцать чемоданов группы должны попасть в первые три четверти ленты.
Ответ: \(\frac{C_{150}^{30}}{C_{200}^{30}} \approx 0{,}00008\).
