Страница 134 номер 278, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Дано:
красных шаров — 5
синих шаров — 7
белых шаров — 6
вынимают наудачу 6 шаров
Найти: вероятность того, что среди шести вынутых шаров: а) ровно 2 красных; б) ровно 2 синих; в) ровно 2 белых; г) всех цветов по два.
Решение:
Шары вынимают наудачу, поэтому все выборки по 6 шаров равновозможны. Всего в коробке \(N = 5 + 7 + 6 = 18\) шаров, объём выборки \(n = 6\), и знаменатель у всех четырёх пунктов один и тот же:
\[C_{18}^6 = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} = 18\,564.\]
События: \(A\) «среди шести шаров ровно 2 красных», \(B\) «среди шести шаров ровно 2 синих», \(D\) «среди шести шаров ровно 2 белых», \(E\) «всех цветов по два». В пунктах а)—в) цветов три, но групп две: шары нужного цвета — успешные, все остальные — неудачные.
а) Успех — красный шар: \(K = 5\), неудачных \(N - K = 13\), в выборке \(k = 2\) успеха и 4 неудачи.
\[\mathrm{P}(A) = \frac{C_5^2 \cdot C_{13}^4}{C_{18}^6} = \frac{10 \cdot 715}{18\,564} = \frac{7150}{18\,564} = \frac{275}{714} \approx 0{,}385.\]
б) Успех — синий шар: \(K = 7\), неудачных \(N - K = 11\).
\[\mathrm{P}(B) = \frac{C_7^2 \cdot C_{11}^4}{C_{18}^6} = \frac{21 \cdot 330}{18\,564} = \frac{6930}{18\,564} = \frac{165}{442} \approx 0{,}373.\]
в) Успех — белый шар: \(K = 6\), неудачных \(N - K = 12\).
\[\mathrm{P}(D) = \frac{C_6^2 \cdot C_{12}^4}{C_{18}^6} = \frac{15 \cdot 495}{18\,564} = \frac{7425}{18\,564} = \frac{2475}{6188} \approx 0{,}4.\]
Полученная дробь лишь немного меньше \(0{,}4\), поэтому и после округления до тысячных вероятность равна \(0{,}400\).
г) Здесь групп три, а формула написана для двух, поэтому число подходящих выборок считаем тем же рассуждением, каким она получена. Два красных шара из пяти выбираются \(C_5^2 = 10\) способами, два синих из семи — \(C_7^2 = 21\), два белых из шести — \(C_6^2 = 15\); каждый выбор двух красных сочетается с любым выбором двух синих и любым выбором двух белых, поэтому числа способов перемножаются.
\[C_5^2 \cdot C_7^2 \cdot C_6^2 = 10 \cdot 21 \cdot 15 = 3150.\] \[\mathrm{P}(E) = \frac{3150}{18\,564} = \frac{75}{442} \approx 0{,}17.\]
Ответ: а) \(\frac{275}{714} \approx 0{,}385\); б) \(\frac{165}{442} \approx 0{,}373\); в) \(\frac{2475}{6188} \approx 0{,}4\); г) \(\frac{75}{442} \approx 0{,}17\).
Дано:
красных шаров — 5
синих шаров — 7
белых шаров — 6
вынимают наудачу 6 шаров
Найти: вероятность того, что среди шести вынутых шаров: а) ровно 2 красных; б) ровно 2 синих; в) ровно 2 белых; г) всех цветов по два.
Решение:
Шары вынимают наудачу, поэтому все выборки по 6 шаров равновозможны. Всего в коробке \(N = 5 + 7 + 6 = 18\) шаров, объём выборки \(n = 6\), и знаменатель у всех четырёх пунктов один и тот же:
\[C_{18}^6 = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} = 18\,564.\]
Нужные события обозначим так: \(A\) «среди шести шаров ровно 2 красных», \(B\) «среди шести шаров ровно 2 синих», \(D\) «среди шести шаров ровно 2 белых», \(E\) «всех цветов по два».
В пунктах а)—в) цветов в коробке три, но групп всё-таки две: шары нужного цвета — успешные, все остальные — неудачные.
а) Успех — красный шар: \(K = 5\), неудачных \(N - K = 13\), в выборке \(k = 2\) успеха и 4 неудачи.
\[\mathrm{P}(A) = \frac{C_5^2 \cdot C_{13}^4}{C_{18}^6} = \frac{10 \cdot 715}{18\,564} = \frac{7150}{18\,564} = \frac{275}{714} \approx 0{,}385.\]
Контроль по сумме индексов: сверху \(2 + 4 = 6\), снизу \(5 + 13 = 18\) — формула составлена верно.
б) Успех — синий шар: \(K = 7\), неудачных \(N - K = 11\).
\[\mathrm{P}(B) = \frac{C_7^2 \cdot C_{11}^4}{C_{18}^6} = \frac{21 \cdot 330}{18\,564} = \frac{6930}{18\,564} = \frac{165}{442} \approx 0{,}373.\]
в) Успех — белый шар: \(K = 6\), неудачных \(N - K = 12\).
\[\mathrm{P}(D) = \frac{C_6^2 \cdot C_{12}^4}{C_{18}^6} = \frac{15 \cdot 495}{18\,564} = \frac{7425}{18\,564} = \frac{2475}{6188} \approx 0{,}4.\]
Полученная дробь лишь немного меньше \(0{,}4\), поэтому и после округления до тысячных вероятность равна \(0{,}400\).
г) Здесь групп три, а формула вероятности выборки написана для двух групп — успехов и неудач, — поэтому число подходящих выборок посчитаем тем же рассуждением, каким эта формула получена.
Два красных шара из пяти можно выбрать \(C_5^2 = 10\) способами, два синих из семи — \(C_7^2 = 21\) способами, два белых из шести — \(C_6^2 = 15\) способами. Каждый выбор двух красных шаров сочетается с любым выбором двух синих и с любым выбором двух белых, поэтому число выборок, в которых всех цветов по два, равно произведению:
\[C_5^2 \cdot C_7^2 \cdot C_6^2 = 10 \cdot 21 \cdot 15 = 3150.\]
Контроль по сумме индексов работает и для трёх групп: сверху \(2 + 2 + 2 = 6\), снизу \(5 + 7 + 6 = 18\).
\[\mathrm{P}(E) = \frac{3150}{18\,564} = \frac{75}{442} \approx 0{,}17.\]
Ответ: а) \(\frac{275}{714} \approx 0{,}385\); б) \(\frac{165}{442} \approx 0{,}373\); в) \(\frac{2475}{6188} \approx 0{,}4\); г) \(\frac{75}{442} \approx 0{,}17\).
