Страница 134 номер 275, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни

Дано:
пирожков на тарелке — 18
с малиной — 11
с вишней — 7
Маша берёт наугад 3 пирожка

Найти: вероятность того, что все три пирожка с одинаковой начинкой.

Решение:

Пирожки одинаковы на вид, и Маша берёт их наугад, поэтому все тройки пирожков равновозможны. Кому из троих какой пирожок достанется, на вероятность не влияет: начинка у всех трёх пирожков одинакова или нет — это зависит только от состава тройки, а не от того, как её разделили.

Совокупность — \(N = 18\) пирожков, объём выборки \(n = 3\). Число всех троек равно

\[C_{18}^3 = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 816.\]

Одинаковая начинка — это два несовместных события: \(A\) «все три пирожка с малиной» и \(B\) «все три пирожка с вишней». Успехом будем считать пирожок с малиной: успешных элементов \(K = 11\), неудачных (с вишней) \(N - K = 7\).

Для события \(A\) успехов в выборке \(k = 3\), неудач ни одной, и \(C_7^0 = 1\):

\[\mathrm{P}(A) = \frac{C_{11}^3 \cdot C_7^0}{C_{18}^3} = \frac{165 \cdot 1}{816} = \frac{165}{816}.\]

Контроль по сумме индексов: сверху \(3 + 0 = 3\), снизу \(11 + 7 = 18\) — формула составлена верно.

Для события \(B\) успехов в выборке нет вовсе, \(k = 0\), а все три пирожка берутся из семи с вишней:

\[\mathrm{P}(B) = \frac{C_{11}^0 \cdot C_7^3}{C_{18}^3} = \frac{1 \cdot 35}{816} = \frac{35}{816}.\]

Здесь \(C_{11}^3 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 165\) и \(C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 35\). События несовместны, поэтому вероятности складываются:

\[\mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) = \frac{165 + 35}{816} = \frac{200}{816} = \frac{25}{102} \approx 0{,}245.\]

Ответ: \(\frac{25}{102} \approx 0{,}245\).