Страница 129 номер 261, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
У кости четыре вершины, и она правильная, поэтому все они выпадают равновозможно: успех «выпала вершина 1», \(p = \frac{1}{4}\), неудача — \(q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). Броски независимы и одинаковы, число их задано заранее: \(n = 6\). Вероятность события \(A_k\) «вершина 1 выпала ровно \(k\) раз» равна
\[\mathrm{P}(A_k) = C_6^k \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{6-k} = \frac{C_6^k \cdot 3^{\,6-k}}{4^6} = \frac{C_6^k \cdot 3^{\,6-k}}{4096}.\]
Числа сочетаний — строка \(n = 6\) треугольника Паскаля: \(1;\ 6;\ 15;\ 20;\ 15;\ 6;\ 1\).
а) \(k = 3\):
\[\mathrm{P}(A_3) = \frac{C_6^3 \cdot 3^3}{4096} = \frac{20 \cdot 27}{4096} = \frac{540}{4096} = \frac{135}{1024} \approx 0{,}132.\]
б) \(k = 5\):
\[\mathrm{P}(A_5) = \frac{C_6^5 \cdot 3}{4096} = \frac{6 \cdot 3}{4096} = \frac{18}{4096} = \frac{9}{2048} \approx 0{,}004.\]
в) \(k = 1\):
\[\mathrm{P}(A_1) = \frac{C_6^1 \cdot 3^5}{4096} = \frac{6 \cdot 243}{4096} = \frac{1458}{4096} = \frac{729}{2048} \approx 0{,}356.\]
г) \(k = 6\), вершина 1 выпадает во всех шести бросках:
\[\mathrm{P}(A_6) = \frac{C_6^6 \cdot 3^0}{4096} = \frac{1}{4096} \approx 0{,}00024.\]
Округление здесь взято до пятого знака после запятой: до тысячных оно дало бы \(0{,}000\).
д) \(k = 2\):
\[\mathrm{P}(A_2) = \frac{C_6^2 \cdot 3^4}{4096} = \frac{15 \cdot 81}{4096} = \frac{1215}{4096} \approx 0{,}297.\]
е) \(k = 0\), все шесть бросков дают неудачу:
\[\mathrm{P}(A_0) = \frac{C_6^0 \cdot 3^6}{4096} = \frac{729}{4096} \approx 0{,}178.\]
Проверка: числители всех семи случаев должны давать в сумме знаменатель; числитель пропущенного случая \(k = 4\) равен \(C_6^4 \cdot 3^2 = 15 \cdot 9 = 135\), и \(729 + 1458 + 1215 + 540 + 135 + 18 + 1 = 4096\).
Маловероятно событие с очень малой вероятностью — то, на появление которого в одном опыте не рассчитывают. Таковы \(0{,}004\) в пункте б) и \(0{,}00024\) в пункте г); вероятности остальных пунктов (\(0{,}132\), \(0{,}356\), \(0{,}297\) и \(0{,}178\)) заметно больше.
Ответ: а) \(\frac{135}{1024} \approx 0{,}132\); б) \(\frac{9}{2048} \approx 0{,}004\); в) \(\frac{729}{2048} \approx 0{,}356\); г) \(\frac{1}{4096} \approx 0{,}00024\); д) \(\frac{1215}{4096} \approx 0{,}297\); е) \(\frac{729}{4096} \approx 0{,}178\); маловероятными разумно считать события пунктов б) и г).
У четырёхгранной кости четыре вершины, занумерованные числами от 1 до 4. Кость правильная, поэтому все четыре вершины выпадают равновозможно, и успех «выпала вершина 1» имеет вероятность \(p = \frac{1}{4}\), а неудача — вероятность \(q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). Кость одна и та же, броски не влияют друг на друга, а число бросков задано заранее: \(n = 6\). Значит, опыт — серия из 6 испытаний Бернулли, и по формуле Бернулли вероятность события \(A_k\) «вершина 1 выпала ровно \(k\) раз» равна
\[\mathrm{P}(A_k) = C_6^k \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{6-k} = \frac{C_6^k \cdot 3^{\,6-k}}{4^6} = \frac{C_6^k \cdot 3^{\,6-k}}{4096}.\]
Знаменатель у всех шести пунктов один и тот же, а числа сочетаний берём из строки \(n = 6\) треугольника Паскаля: \(1;\ 6;\ 15;\ 20;\ 15;\ 6;\ 1\).
а) Три раза — это \(k = 3\):
\[\mathrm{P}(A_3) = \frac{C_6^3 \cdot 3^3}{4096} = \frac{20 \cdot 27}{4096} = \frac{540}{4096} = \frac{135}{1024} \approx 0{,}132.\]
б) Пять раз — это \(k = 5\):
\[\mathrm{P}(A_5) = \frac{C_6^5 \cdot 3}{4096} = \frac{6 \cdot 3}{4096} = \frac{18}{4096} = \frac{9}{2048} \approx 0{,}004.\]
в) Один раз — это \(k = 1\):
\[\mathrm{P}(A_1) = \frac{C_6^1 \cdot 3^5}{4096} = \frac{6 \cdot 243}{4096} = \frac{1458}{4096} = \frac{729}{2048} \approx 0{,}356.\]
г) Шесть раз — это \(k = 6\), то есть вершина 1 выпадает во всех шести бросках:
\[\mathrm{P}(A_6) = \frac{C_6^6 \cdot 3^0}{4096} = \frac{1}{4096} \approx 0{,}00024.\]
Округление здесь взято до пятого знака после запятой: до тысячных оно дало бы \(0{,}000\) и ничего не сказало бы о величине вероятности.
д) Два раза — это \(k = 2\):
\[\mathrm{P}(A_2) = \frac{C_6^2 \cdot 3^4}{4096} = \frac{15 \cdot 81}{4096} = \frac{1215}{4096} \approx 0{,}297.\]
е) Ни разу — это \(k = 0\), все шесть бросков дают неудачу:
\[\mathrm{P}(A_0) = \frac{C_6^0 \cdot 3^6}{4096} = \frac{729}{4096} \approx 0{,}178.\]
Проверка: числа успехов от 0 до 6 исчерпывают все исходы серии, поэтому числители всех семи вероятностей должны давать в сумме знаменатель. Числитель случая \(k = 4\), о котором в задании не спрашивают, равен \(C_6^4 \cdot 3^2 = 15 \cdot 9 = 135\), и сумма всех семи числителей равна \(729 + 1458 + 1215 + 540 + 135 + 18 + 1 = 4096\).
Маловероятным разумно считать то событие, на появление которого в одном опыте не рассчитывают: по принципу практической невозможности это событие с очень малой вероятностью. Среди найденных вероятностей такими выглядят две — \(0{,}004\) в пункте б) и \(0{,}00024\) в пункте г). Вероятности остальных пунктов (\(0{,}132\), \(0{,}356\), \(0{,}297\) и \(0{,}178\)) заметно больше: такие события при повторении опыта случаются регулярно.
Ответ: а) \(\frac{135}{1024} \approx 0{,}132\); б) \(\frac{9}{2048} \approx 0{,}004\); в) \(\frac{729}{2048} \approx 0{,}356\); г) \(\frac{1}{4096} \approx 0{,}00024\); д) \(\frac{1215}{4096} \approx 0{,}297\); е) \(\frac{729}{4096} \approx 0{,}178\); маловероятными разумно считать события пунктов б) и г).
