Страница 124 номер 251, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Испытания одинаковы и независимы, вероятность неудачи в каждом равна \(q\), а после первого успеха испытания прекращаются.
Событие \(A\) «для достижения успеха потребуется не менее \(k\) испытаний» наступает тогда и только тогда, когда первые \(k - 1\) испытаний кончились неудачей: успех в одном из них прекратил бы испытания раньше, а если все они неудачны, то успех наступит в \(k\)-м испытании или позже.
Вероятность \(k - 1\) неудач подряд равна произведению \(k - 1\) множителей \(q\):
\[\mathrm{P}(A) = \underbrace{q \cdot q \cdot \ldots \cdot q}_{k - 1\ \text{множителей}} = q^{\,k-1}.\]
Проверка: при \(k = 1\) формула даёт \(q^0 = 1\), и это верно: хотя бы одно испытание проводится всегда.
Ответ: \(q^{\,k-1}\).
Испытания одинаковы и независимы, вероятность неудачи в каждом из них равна \(q\), а после первого успеха испытания прекращаются. Неудачу обозначим символом 0, успех — символом 1.
Событие \(A\) «для достижения успеха потребуется не менее \(k\) испытаний» наступает тогда и только тогда, когда первые \(k - 1\) испытаний кончились неудачей. В самом деле, если бы успех случился в одном из первых \(k - 1\) испытаний, то на нём испытания прекратились бы и всего их понадобилось бы меньше \(k\); и наоборот, если первые \(k - 1\) испытаний неудачны, то успех может наступить только в \(k\)-м испытании или позже.
Испытания независимы, поэтому вероятность \(k - 1\) неудач подряд по правилу умножения равна произведению \(k - 1\) множителей \(q\):
\[\mathrm{P}(A) = \underbrace{q \cdot q \cdot \ldots \cdot q}_{k - 1\ \text{множителей}} = q^{\,k-1}.\]
Проверка: при \(k = 1\) формула даёт \(q^0 = 1\), и это верно: событие «потребуется не менее одного испытания» достоверно, ведь хотя бы одно испытание проводится всегда.
Ответ: \(q^{\,k-1}\).
