Страница 129 номер 266, ГДЗ по математике за 10 и 11 класс к учебнику Высоцкого. Вероятность и статистика базовый и углубленный уровни
Что больше — вероятность события «выпадет 1012 орлов при 2024 бросаниях монеты» или «выпадет 1011 орлов при 2023 бросаниях монеты»?
Монету считаем симметричной: \(p = 0{,}5\), \(q = 0{,}5\); бросания одинаковы и независимы, поэтому и 2024, и 2023 бросания — серии испытаний Бернулли.
Обозначим \(A\) — событие «выпадет 1012 орлов при 2024 бросаниях монеты», \(B\) — событие «выпадет 1011 орлов при 2023 бросаниях монеты». По формуле Бернулли
\[\mathrm{P}(A) = C_{2024}^{1012} \cdot 0{,}5^{1012} \cdot 0{,}5^{1012} = \frac{C_{2024}^{1012}}{2^{2024}};\] \[\mathrm{P}(B) = C_{2023}^{1011} \cdot 0{,}5^{1011} \cdot 0{,}5^{1012} = \frac{C_{2023}^{1011}}{2^{2023}}.\]
Числа сочетаний связывает рекуррентное свойство \(C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k\), которое при \(n = 2024\) и \(k = 1012\) даёт
\[C_{2024}^{1012} = C_{2023}^{1011} + C_{2023}^{1012}.\]
По симметричности чисел сочетаний \(C_{2023}^{1012} = C_{2023}^{2023 - 1012} = C_{2023}^{1011}\), то есть оба слагаемых равны между собой и \(C_{2024}^{1012} = 2 C_{2023}^{1011}\). Подставим это в вероятность события \(A\):
\[\mathrm{P}(A) = \frac{2 C_{2023}^{1011}}{2^{2024}} = \frac{C_{2023}^{1011}}{2^{2023}} = \mathrm{P}(B).\]
Числитель и знаменатель выросли вдвое, поэтому дробь не изменилась.
Ответ: вероятности равны — выпадение 1012 орлов при 2024 бросаниях монеты и выпадение 1011 орлов при 2023 бросаниях монеты равновероятны.
Что больше — вероятность события «выпадет 1012 орлов при 2024 бросаниях монеты» или «выпадет 1011 орлов при 2023 бросаниях монеты»?
Монету считаем симметричной, поэтому орёл и решка при каждом бросании равновозможны: вероятность успеха «выпал орёл» равна \(p = 0{,}5\), вероятность неудачи \(q = 0{,}5\). Бросания не влияют друг на друга и условия их одинаковы, поэтому и 2024 бросания, и 2023 бросания — это серии испытаний Бернулли.
Обозначим \(A\) — событие «выпадет 1012 орлов при 2024 бросаниях монеты», \(B\) — событие «выпадет 1011 орлов при 2023 бросаниях монеты». По формуле Бернулли
\[\mathrm{P}(A) = C_{2024}^{1012} \cdot 0{,}5^{1012} \cdot 0{,}5^{1012} = \frac{C_{2024}^{1012}}{2^{2024}};\] \[\mathrm{P}(B) = C_{2023}^{1011} \cdot 0{,}5^{1011} \cdot 0{,}5^{1012} = \frac{C_{2023}^{1011}}{2^{2023}}.\]
Считать сами числа сочетаний не нужно: их связывает основное рекуррентное свойство \(C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k\). При \(n = 2024\) и \(k = 1012\) оно даёт
\[C_{2024}^{1012} = C_{2023}^{1011} + C_{2023}^{1012}.\]
По симметричности чисел сочетаний \(C_{2023}^{1012} = C_{2023}^{2023 - 1012} = C_{2023}^{1011}\), то есть оба слагаемых равны между собой, и потому \(C_{2024}^{1012} = 2 C_{2023}^{1011}\). Подставим это в вероятность события \(A\):
\[\mathrm{P}(A) = \frac{2 C_{2023}^{1011}}{2^{2024}} = \frac{C_{2023}^{1011}}{2^{2023}} = \mathrm{P}(B).\]
Числитель вырос вдвое, и знаменатель вырос вдвое, поэтому дробь не изменилась: вероятности этих двух событий равны.
Ответ: вероятности равны — выпадение 1012 орлов при 2024 бросаниях монеты и выпадение 1011 орлов при 2023 бросаниях монеты равновероятны.
